动态变化题: 看清“始终”,找准“拐点”

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇动态变化题: 看清“始终”,找准“拐点”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

动态变化问题综合性强，具有一定的挑战性，能够有效地提高试卷的选拔功能和区分度．据笔者统计，90%的省市2011年的中考数学试卷，都对运动型问题进行了考查，而且运动型问题涉及的题量有所增加、分值比例有所提高，预计2012年的中考命题对运动型问题的考查必将延续．

（2011河北）如图1，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长度的速度运动t s（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P. 已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，－5），D（4，0）.

（1）求c，b（用t的代数式表示）.

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AMP的值.

②求MPN的面积S与t的函数关系式，并求出t当为何值时，S=.

（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

（1）因为抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与点P的坐标代入方程即可求得c，b的值.

（2）①当x=1时，y=1-t，可求得点M的坐标，易得AM=AD=t-1，则可求得∠AMP的度数.

②由S=S-S=S+S-S，即可求得关于t的二次函数，当S=时，列方程即可求得t的值.

（3）根据题意，将“好点”分为数量相等的两部分，可求两种特殊情况下的t值．将点（2，-3）代入，可求出t=；将点（3，-2）代入，可求出t=．所以＜t＜．

（1）因为点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长度的速度运动t秒，所以点P的坐标为（t，0）. 因为抛物线y=x2+bx+c经过点O（0，0）和点P（x，0），所以有0=c，0=t2+bt，解得b=-t，c=0.所以b=-t，c=0.

（2）①不变． 当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t）. 因为tan∠AMP=1，所以∠AMP=45°．

②S=S+S－S

=（t－4）（4t－16）+［（4t－16）+（t－1）］×3－（t－1）（t－1）

=t2－t+6.

令S=，即得t2－t+6=，解得t=，t=. 因为4＜t＜5，所以t=.

（3）＜t＜．

（1）当已知函数图象上点的坐标时，代入函数解析式，即可求待定系数；（2）图形面积的求解方法：①直接利用公式计算，②其他相关图形面积的和（差）；（3）求取值范围时，可以求起始位置和终止位置两个特殊位置的值，从而确定取值范围．

值得注意的是，本题有几个易错点：（2）①中，发现不了AD和AM的等量关系，从而无法确定∠AMP的值；（2）②中，计算S与t的函数关系式时，一是不知道怎么算，二是计算错误；（3）求取值范围时，不会找特殊位置，无法确定取值范围．

（2011江苏扬州）在RtABC中，∠BAC=90°，AB0）.

（1）PBM与QNM相似吗？以图2为例说明理由.

（2）若∠ABC=60°，AB=4cm，

①求动点Q的运动速度.

②设RtAPQ的面积为Scm2，求S与t的函数关系式.

（3）探求BP2，PQ2，CQ2三者之间的数量关系，以图2为例说明理由．

（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似.

（2）①设BP=3，根据PBM∽QNM可求得NQ的长，即Q一秒钟移动的距离，即Q的速度.

②分别用时间t表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．

（1）PBM与QNM相似，理由如下：因为MNBC，MQMP，所以∠NMB=∠PMQ=∠BAC=90°. 所以∠PMB=∠QMN，∠QNM=∠B=90°-∠C. 所以PBM∽QNM.

（2）①因为∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=4，BP=t，所以AB=BM=CM=4，MN=4. 因为PBM∽QNM，所以=，即==. 因为点P的运动速度是cm/s，所以点Q的运动速度是1 cm/s．

②如图3，当0

如图4，当t≥4时，AP=t－4，AQ=4+t，所以 S=（4+t）•（t－4）=－（16－t2）=t2－8. 所以S=－t2+8，0

（3）BP2＋CQ2=PQ2，理由如下：因为BP=t，所以BP2=3t2. 因为CQ=8-t，所以CQ2=（8－t）2=64－16t+t2. 因为PQ2=（4+t）2+3（4-t）2=4t2+16t+64，所以BP2＋CQ2=PQ2．

本题的意图就是考查分类讨论，如何制定分类标准. 如果同学们在第一问求解后思考“在运动的所有过程中PBM与QNM相似始终成立吗”，这样自然而然地就会去思考点P的运动路径，从而为解决第2问提供了一个很好的方向. 这也体现了“以退为进”的策略．

动态变化型问题是指随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论或改变、或保持不变的综合题．这类试题有较强的综合性，需用运动变化的眼光观察问题、研究问题，整体把握动态过程，并特别关注运动变化中的不变量、不变关系或特殊关系，综合运用函数、方程、图形性质等知识以及分类讨论、数形结合等思想，展示了数学的创造过程．

动态几何问题是近十年来的经典综合题，可以由多种载体来命题，往往与函数联合，又体现着分类讨论思想．处理这类问题的关键是弄清楚运动过程中的一些特殊位置（或极限位置或“拐点”位置）. 把动态问题转变成静态问题进行解决.

一般来说，选取有代表性的动态问题深入研究后，应该都能悟出求解此类问题的“程序”. 很多同学都对这类动态变化题具有一定的畏惧心理，其实，万变不离其宗，只要深入研究，同学们便会不难发现其中的变化趋势与内线联系. 需提醒的是，同学们在学习的过程中，一定要全方位考虑，多锻炼自己各方面的能力，因为综合题需要的是综合能力.