三视图问题考点例析

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三视图问题是近几年浙江省高考的热点，它往往以选择题或填空题的形式出现，考查同学们的空间想象能力.考查内容主要分两个方面：一是三视图和直观图的关系；二是根据几何体的三视图计算其体积或表面积.

一、三视图和直观图的关系

要注意领会几何体的三视图与直观图之间的关系，既能根据几何体的三视图还原直观图，也能根据其直观图作出三视图.在解题时，我们应注意以下三点：

（1） 由几何体的三视图还原直观图时，应抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正视图的长和俯视图的长相等，正视图的高与侧视图的高平齐，俯视图的宽与侧视图的宽相等.由此可根据三视图还原几何体的直观图. 还原时应特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.

（2） 作三视图时，用实线表示可见的轮廓线和棱，用虚线表示不可见的轮廓线和棱.

（3） 对于简单几何体的组合体，应先理清它是由哪些几何体组成的，再作出三视图.

例1 [2011年高考数学浙江卷（理科）第3题] 若某几何体的三视图如图1所示，则这个几何体的直观图可以是

解析： 从正视图来看，物体的正面应该是一大一小两个矩形的组合体，选项C、D符合. 从俯视图看，物体的上表面被分为一个三角形和一个梯形，选项D符合. 从侧视图来看，物体的侧面为一个矩形，选项D 也符合，故选D.

点评： 在例1中，正视图、侧视图、俯视图均被虚线、实线分割成两个几何体的组合体，这就要求同学们根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，对比直观图，一一进行辨别.

例2 [2012年绍兴市高三教学质量调测卷（理科）第7题] 某几何体的正视图如图2所示，则该几何体的俯视图不可能是

解析： 若几何体上面是一个球，下面是一个直立的圆柱，其俯视图为A. 若几何体上面是一个横置的圆柱（圆柱的底面垂直纸面向外和向内），下面是一个正方体，其俯视图为B. 若几何体上面是一个球，下面是一个正方体，其俯视图为C. 若几何体上面是一个球，下面是一个正方体，由D可知球体的直径等于正方体一面的对角线长， D中的正方形应该用虚线表示，且在正视图中，正方形的正中应有一条竖直的棱. 所以该几何体的俯视图不可能是D.

点评： 解答例2时，应注意在三视图中，实线表示可见的轮廓线和棱，虚线表示不可见的轮廓线和棱.

二、根据几何体的三视图计算其体积或表面积

根据三视图求几何体的体积或表面积是这几年高考考查的新动向.在解决这类问题时，同学们可以先根据三视图还原几何体的直观图，再由相关数据求出几何体的棱长、高等，最后求出几何体的体积或表面积.

例3 [2012年高考数学浙江参考卷（理科）第11题] 若某几何体的三视图（单位：cm）如图3所示，则此几何体的体积是 cm3.

解析： 由正视图可知该几何体的正面为梯形，上底长为4，下底长为2+4+2=8.由俯视图可知该几何体的底面为矩形，宽为4，结合正视图可知矩形的长为8.由侧视图可知该几何体的侧面为三角形，结合正视图与俯视图可知三角形的底边长为4.由此，我们可还原三视图得到如图4所示的几何体ABCDEF，将它分割成一个直三棱柱EGI-FHJ和两个完全相等的四棱锥E-AIGD与F-JBCH，由正视图可知该四棱锥的高为3，由此可得该几何体的体积V=VEGI-FHJ +VE-AIGD+VF-JBCH=×4×3×4+2××2×4×3=40 （cm3）.

点评： 对于这类不规则几何体，我们常用分割法或补形法，将它转化为规则几何体的组合体再求解.

其实，例3改编自1999年高考数学全国卷（理科）第10题：

如图5所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB且EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为

（A） （B） 5 （C） 6 （D）

例3给这个简单的问题添加了三视图背景，对同学们的空间想象能力要求更高了.

例4 [2011年杭州市高三第二次教学质量检测（理科）第15题] 一个棱锥的三视图如图6所示，则该棱锥的外接球的表面积为 .

解析： 根据三视图可判断该棱锥为三棱锥，作出该三棱锥A-BCD的直观图，如图7所示. 其中BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=6. 取CD的中点E，联结AE，BE.

由于正视图和侧视图均为底边长为6、腰长为5的等腰三角形，根据“高平齐”的原则可知三棱锥的高h==4.

由俯视图可知顶点A的射影为RtBCD的斜边CD的中点E，所以AE平面BCD，所以AE为三棱锥的高且AE=4.

因为BCD为等腰直角三角形，BC=BD=6，E为CD的中点，所以BE=CE=DE=CD==3.

要确定该三棱锥的外接球，必须在空间内找到一点，使其到A，B，C，D四点距离相等. 在直线AE上取一点O. 因为BE=CE=DE，AE平面BCD，所以由勾股定理可得OB=OC=OD.只要满足OA=OB，即可确定点O为三棱锥外接球的球心，OA的长度即外接球半径的长度R. 由OE2+BE2=OB2=OA2，即（4-R）2+（3）2=R2，解得R=，所以三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π2=.

点评： 同学们往往会误认为，在正视图与侧视图中，等腰三角形的腰分别对应了三棱锥的棱AB，AC，AD，其实不然. 正视图体现的是几何体的长与高，侧视图体现的是几何体的宽与高. 因为在空间中，ABC与ABD都是向内倾斜的，所以在正视图和侧视图中，等腰三角形的腰对应的不是三棱锥的棱，而是三棱锥的斜高. 这正是本题的难点所在.

以上两方面内容概括了三视图的考点.随着新课程改革的推进，对三视图的考查方式会更加灵活多样，但以课本基础知识为核心，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力和数形结合能力的宗旨仍不会变.所以，我们应该在平时的练习中注重归纳和积累，熟悉三视图的考查方式，并注意结合几何图形的性质，这样才能在解题时得心应手.

【练一练】

一个棱长为2的正方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图8所示，则该几何体的体积是 .

【参考答案】

（提示：所求几何体为截掉一个三棱台的正方体，直观图如图9所示.因为VABCD-A′B′C′D′=23=8，VAEF-A′B′D′=·（SAEF +SA′B′D′+）·AA′=××1×1+×2×2+×2=，所以该几何体的体积V=VABCD-A′B′C′D′-VAEF-A′B′D′=）