让数学走进校园生活

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摘要：本文通过篮球赛中运动员“替换”这一事例，巧妙地和函数的“替换”思想结合起来，让学生理解函数“替换”思想的内涵和外延，并通过用“替换”思想求函数的解析式；用“替换”思想求抽象函数的定义域；用函数的“替换”思想求三角函数的值域三个实例帮助学生体会“替换”在解题中的应用，学生将不会再有函数“难”的感慨；将会使有关函数的习题在完成过程中变得很轻松、很快乐。

关键词：函数；替换；校园生活；应用；快乐

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0113

函数是高中数学的一条主线，也是高中数学不容忽视的部分，占有相当重要的位置。一提到函数，学生第一反应是“难”。但如果让数学课堂走进学生的生活，效果会不一样的。

函数自身包含了一个重要的思想。是“替换”。这一思想，在有关函数的习题中无处不在，但学生就是不能理解到位，往往出现因“替换”而产生的错误。这里，笔者就告诉学生：“要‘替换’，就应该从头到尾全部‘替换’，就好比在篮球赛中，替补队员‘甲’上场换了主力队员‘乙’，这时，‘甲’是仅接替‘乙’的传球吗？同学们马上反应到：‘不对’，既要接替‘乙’传球，又要接替‘乙’带球，投球，还有和组员的密切配合等等。凡是‘乙’队员之前要干的事，‘甲’队员全部要扛下来。我高兴的喊到‘太对了’，这就叫‘替换’，从头到尾换，彻底得换，一件都不能少”。以甲、乙运动员替换为例，让校园生活牢牢深入学生的数学思维中，避免出错的目的就达到了。

一、利用“替换”思想求函数的解析式

例1. 已知函数f（x）=x2+3x+1，x∈R，求f（x+3）的表达式。在这道题目中，f（x）=x2+3x+1中的x就是队员“甲”，对应关系f是甲的平方加三倍的甲，再加一，在f（x+3）中的x+3就是队员“乙”，他要“替换”甲的位置，就应该是乙的平方加三倍的乙，再加一，即：f（x+3）=（x+3）2+3（x+3）+1=x2+9x+19

例2. 已知函数f（x+3）=x2+9x+19，求f（x）的表达式。这一题目就是“乙”队员体力不支，又需要“甲”队员来换“乙”队员的位置的情况，依然用“替换”的思想，在f（x+3）=x2+9x+19中，x+3依然是队员“乙”，因为f（x+3）=x2+9x+19=（x+3）2+3（x+3）+1，对应关系f是乙的平方加三倍的乙，再加一，现在是甲队员来换“乙”队员的位置，对应关系f是甲的平方加三倍的甲，再加一，即f（x）=x2+3x+1。这实质就是“甲”队员重新回到自己的位置的情况，他依然充当自己的角色。

这样，“替换”这一思想在学生头脑中留下了不可磨灭的印象，让学生如法炮制，就可得出在高中最常用的两类函数中“替换”思想的应用：1.已知函数f（x）=ax+b （a≠0）则f（ax+b）=a（ax+b）+b。反之，已知函数f（ax+b）=a（ax+b）+b（a≠0），则f（x）=ax+b。2. 已知函数f（x）= ax2+bx+c（a≠0），则f（ax2+bx+c）=a（ax2+bx+c）2+b（ax2+bx+c）+c. 反之，已知函数f（ax2+bx+c）=a（ax2+bx+c）2+b（ax2+bx+c）+c（a≠0），则f（x）= ax2+bx+c.

二、利用“替换”思想求抽象函数的定义域

例1. 已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域。这道题目函数f（x）的定义域为（0，1），就是其中的x∈（0，1），求f（x2）的定义域，就是求其中的自变量x的范围，f（x）中的x就相当于“甲“队员，f（x2）中的x2就相当于“乙”队员，利用“替换”的思想，f（x）中的x的范围就等于f（x2）中的x2 的范围，即x2∈（0，1） ，解得x∈（0，1）∪（-1，0），这就是函数f（x2）的定义域。

例2. 已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1）， 求函数f（x）的定义域。 这道题目已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），就是其中的x∈（0，1），求f（x）的定义域，就是求其中的自变量x的范围，在函数f（2x+1）中2x+1就相当于我们的 “甲”队员，当x∈（0，1）时，2x+1∈（1，3）在函数f（x）中的x就相当于“乙”队员，按照“替换”的思想，f（x） 中的x∈（1，3）。即函数f（x）的定义域为（1，3）。

例3. 已知函数f（x+1）的定义域为[-2，3]，求函数f（x2-2）的定义域。这道题目已知函数f（x+1）的定义域为[-2，3]，就是f（x+1） 中的自变量x的范围为[-2，3]，求函数f（x2-2）的定义域，就是求f（2x2-2）中的自变量x的取值范围。在函数f（x+1）中的x+1就相当于我们的 “甲”队员， x∈[-2，3]，则x+1∈[-1，4]。函数f（x2-2）中的x2-2就相当于“乙”队员，按照“替换”的思想，在函数f（x+1）中的x+1取值范围就等于函数f（x2-2）中x2-2的取值范围。即x2-2∈[-1，4]，解得x∈[1，]∪[-，-1]。即函数f（x2-2）的定义域为[1，]∪[-，-1]。

通过以上应用，会发现求抽象函数的定义域只要把握好两点：一，给函数的定义域，给的是自变量x的范围，求函数定义域，求的是自变量x的范围；二，利用函数本身包含的思想“替换”，也就是f（x） 中的“括号”为桥梁。学生求抽象函数的定义域仿佛如鱼得水，游刃有余。

三、利用“替换”思想求三角函数的值域

三角函数求值域是我们常见的一类问题，例：已知函数f（x）=4sin（2x+）-3 x∈（0，），求f（x）的最值，对于此题，可以画出函数f（x）=4sin（2x+）-3 在x∈（0，）上的图象，结合图象来求最值。不过函数f（x）=4sin（2x+）-3的图象画起来稍微麻烦一点，我们可以利用函数的“替换”思想结合正弦曲线来求得。函数f（x）=4sin（2x+）-3中，2x+就相当于我们的 “甲”队员，x∈（0，），则2x+∈（，），令函数g（z）=4sinz-3，则Z就相当于“乙”队员，按照“替换”的思想，f（x）中的2x+∈（，）就等于g（z）中的z∈（，），结合正弦曲线当z∈（，）时，sinz∈[-，1]则g（x）=4sinz-3∈[-5，1]。这样运算会更简单，只要求学生会灵活运用最基本的三角函数正弦函数及性质即可。

尽管三角函数是周期函数，我们通常会利用数形结合的思想求值域，求单调区间，但对于函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）或y=Acos（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）在给定区间上的值域问题及单调区间问题，若用整体替换的思想，就显得优为简单，学生只需会灵活运用正弦函数或余弦函数的图像及性质即可，这样做，出错的机会也很小。

函数的“替换”思想在我们解决函数问题中的应用还有很多很多，可以说是非常普遍的一个应用，学生总感觉迷惑，我想，只要让数学课堂中的“替换”思想走进校园生活，学生就会真正地理解“替换”思想的内涵和外延，会很轻松、很快乐地完成有关函数的习题，不会再有函数“难”的感慨。

参考文献：

[1] 唐圣斌.例谈三角函数中“1”的替换[J].学知报（教师版）， 2011（39）.

[2] 黄仁孟.让生活走进数学课堂[J].新校园・理论， 2011（5）.

[3] 陈一利，叶燕荣.让校园文化走进数学课堂[J].数学学习与研究（教研版），2010（14）.

（作者单位：陕西省周至县第六中学 710403）