第五讲图形与变换

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图形与变换包括图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形与相似、位似变换等.现以2012年中考试题为例，把图形与变换常考知识点归纳如下，以供你复习时参考.

考点1 轴对称图形与中心对称图形的概念

例1 （2012年贵阳卷）下列图案是一副扑克牌的四种花色，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.

解：A，B，D只是轴对称图形，只有C符合要求.选C.

温馨小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，属于基础题.辨认轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；辨认中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

考点2 图形的折叠与剪拼

例2 （2012年遵义卷）把一张正方形纸片如图1、图2对折两次后，再如图3挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是（ ）.

解：拿一张正方形纸进行实际操作，可知选C.

温馨小提示：折叠问题的实质就是轴对称，动手操作是最实用的解法.若用逻辑推理分析这类问题容易出错.

考点3 平移性质的应用

例3 （2012年济南卷）如图4，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，将ABC沿CB向右平移得到DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 .

解：将ABC沿CB向右平移得到DEF，平移距离为2，

AD∥BE，AD=BE=2.

四边形ABED是平行四边形.

四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8.故答案为8.

温馨小提示：平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

考点4 旋转性质的应用

例4 （2012年玉林卷）如图5，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D= .

解：∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，

∠C=60°，BC=BC′=AC=5.

BCC′是等边三角形，CC′=5.

∠A′C′B=∠C′BC=60°，C′D∥BC.

DC′是ABC的中位线，

DC′=BC=.故答案为.

温馨小提示：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的

判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是ABC的中位线是解题的关键.

例5 （2012年佛山卷）如图6，把一块斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到A1B1C，则在旋转过程中这块三角板扫过的面积是（ ）.

A.π B.

C.+ D.+

解：在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，BC=AB=1，∠B=90°-∠BAC=60°.

AC==.

SABC=×BC×AC=.

设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，如图7.

BC=DC，BCD是等边三角形. BD=CD=1.

点D是AB的中点， SACD=SABC=×=.

ABC扫过的面积=S扇形ACA+S扇形BCD+SACD=+.选D.

温馨小提示：掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是本题的难点.

考点5 利用轴对称、平移、旋转设计图案

例6 （2012年海南卷）如图8，在正方形网络中，ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（-2，4）、（-2，0）、（-4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出ABC关于原点O对称的A1B1C1；

（2）平移ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的A2B2C2并写出点B2、C2的坐标；

（3）在ABC、A1B1C1、A2B2C2中，A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .

解：（1）ABC关于原点O对称的A1B1C1如图9所示.

（2）平移后的A2B2C2如图9所示， 点B2、C2的坐标分别为（0，-2），（-2，-1）.

（3）A1B1C1，（1，-1）.

温馨小提示：图形经过旋转及平移后仍与原图形全等. 作图时，需要利用网格点的对称性寻找对称点.

考点6 图形相似的判定与性质

例7 （2012年陕西卷）如图10，ABC中，AD、BE是两条中线，则SEDC∶SABC=（ ）.

A.1∶2 B.2∶3

C.1∶3 D.1∶4

解：AD、BE是ABC的两条中线，

DE是ABC的中位线.

DE∥AB，=.

EDC∽ABC，SEDC∶SABC=1∶4.选D.

温馨小提示：发现两个三角形相似是解题的关键.要熟练掌握相似三角形对应边、对应角、周长、面积之间的关系.

考点7 图形的位似变换

例8 （2012年玉林卷）如图11，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′（1，2），则这两个正方形的相似比是（ ）.

A. B. C. D.

分析：相似比等于对角线之比.

O′是正方形ABCD的对角线AC的中点，AC=3，

O′（1.5，1.5），A（0，3）.

A′（1，2），O′A′=，OA=.选B.

温馨小提示：以位似变换为背景，考查了三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角关系等重要知识.