坐标系中斜三角形面积求法的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇坐标系中斜三角形面积求法的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

在初中数学中，求斜三角形面积是一个难点，通常成为竞赛和中考压轴题的重点考查内容。笔者对此类问题的解法和应用作如下探究和归纳。

例1(天津竞赛题)如图1，y=-33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P(a，12)，且ABP的面积与ABC的面积相等，求a的值。

解法一分割法

这种方法通常用x轴、y轴或者作x轴、y轴的平行线把一个三角形分成两个三角形，这两个三角形同底，而它们高的和是常数或者可以用同一个变量来表示，从而可以求出斜三角形的面积。解法如下：

过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交直线AB于点E(如图1)。

由直线y=-33x+1，

得OB=1，OA=3，

所以AC=AB=2，

SABC=12AB·AC=2，

SPEB+SPEA=SPAB=SABC=2，

即12PE·BD+12PE·OD

=12PE·OB=2。

把y=12代入y=-33x+1得

x=32，

则PE=32-A.

所以12×(32-a)×1=2，

解得a=3-82。

类似地，PBA的面积也可以竖直地进行分割(如图2)，以y轴为分割线把PBA分割成PBD和ABD，解决问题的方法类似，略解如下：

设AP交y轴于点D，过点P作PEy轴于点E。

设AP:y=kx+b，把P(a，12)、A(3，0)代入解得b=32(3-a)。

再利用SPDB+SBDA=SPAB

=SABC=2，

即12BD·PE+12BD·OA=2，

解得a=3-82。

显然，此问题中水平分割法求PBA的面积比较简捷，所以读者在解决此类问题时注意适当选用分割方法。

解法二补形法

这种方法通常作辅助线，把原三角形补成面积易求的图形，利用图形面积差来解决问题。方法是补形后的图形的底或高在坐标轴上或与坐标轴平行(如图3)。

解法如下：连结OP。

因为SPBA=SOAB+SOBP-SOAP，

所以12OA·OB+12OB·|xP|-12OA·|yP|=2

(其中，xP、yP分别表示点P的横坐标和纵坐标)，即

12×1×3+12×1×(-a)-12×3×12=2，

解得a=3-82。

另外，此问题还可以延长BP交x轴于点D，用BDA与PDA面积之差等于2来解决问题。

解法三构造法

原三角形是一个斜三角形，它的面积比较难求，所以可以考虑构造一个与之面积相等的新三角形，而新三角形的面积是易于求解的。构造的方法是：作原三角形底边的平行线，利用同底等高的三角形面积相等来构造新的三角形。

解法如下：如图4，过点P作PD∥AB，交y轴于点D.

设PD：y=-33x+b，

把点P(a，12)代入解析式，得

b=12+3a3，

所以BD=12-3a3，

而PAB与DAB同底等高，

所以SPAB=SDAB=SABC=2，

即12BD·OA=2，

12(12-3a3)×3=2，

解得a=3-82。

以上是坐标系中斜三角形面积的常见三种求法，而近几年全国各地中考试题中也经常考查此类问题，以下仅举几例，以飨读者。

例2(2009年江西)如图5，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.

(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式。

解(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线的对称轴是x=1。

(2)①设直线BC：y=kx+B.

把B(3，0)，C(0，3)分别代入，

解得k=-1，b=3。

所以直线BC：y=-x+3。

再分别令x=1,x=m，求得E(1，2)，P(m,-m+3)。

由y=-x2+2x+3，得D(1，4)，

F(-m,-m2+2m+3),

从而DE=4-2=2，

PF=-m2+2m+3-(-m+3)

=-m2+3m。

因为PF∥DE，

所以PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形。

由-m2+3m=2解得

m1=2，m2=1(不合题意，舍去)。

因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形。

②设直线PF与x轴交于点M，

可得OB=OM+BM=3。

因为S=SBPF+SCPF，

即S=12PF·BM+12PF·OM

=12PF(BM+OM)

=12PF·OB，

所以S=12×3(-m2+3m)

=-32m2+92m

(0≤m≤3)。

此题以二次函数为背景，综合考查了函数、方程、三角形面积、平行四边形等知识，特别是斜三角形CPF的面积的求法难度较大，采用竖直分割的方法，由直线PF把三角形分割成面积易求的两个三角形CPF和BPF，当然CPF的面积也可以过点F作x轴的平行线水平分割来求解，或者利用SBCF=S梯形OMFC+SBFM-SOBC来计算，读者不妨一试。

例3(2010年湛江)如图6，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-3，-4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A.

(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和PAB的最大面积。

略解(1)A(5，0)，y=-16x2+56x。

(2)抛物线的对称轴为直线x=52，点O与点A关于对称轴x对称，则AB与对称轴的交点即为所求的点C.此时BC+OC的值最小。

可求得AB：y=12x-52，

C(52，-54)。

(3)方法一：过点P作y轴的平行线，交直线AB于点D.设P(m，-16m2+56m),则点D(m,12m-52),可得

PD=-16m2+13m+52。

利用SPAB=SPAD+SPBD，

可得SPAB=-23m2+43m+10

=-23(m-1)2+323。

当m=1时，点P的坐标为(1，23)，PAB的面积最大值为323。

方法二：如图7，过抛物线在x轴上方的点P作直线AB的平行线DP：y=12x+b，易知直线DP与抛物线有唯一公共点时，PAB的面积最大。

将直线DP解析式代入到抛物线的解析式，得关于x的一元二次方程x2-2x+6b=0。

令Δ=(-2)2-4×1×6b=0，

解得b=16。

此时方程的解为x=1，

进而得y=23，

所以点P的坐标为(1，23)。

再从点P作y轴的平行线，分割PAB，可求得其面积为323。

直角坐标系中斜三角形有关面积的综合题，在竞赛和全国各地的中考题中比较普遍，读者不妨用文中所述的方法尝试解决，本文不再赘述。

【作者单位：(214431)江苏省江阴市第一中学】