意外的教学案例

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一、选题设想

学生正经历高三一轮复习，各类公式已经复习过的前提下，考虑到学生对于三角问题已有的了解，如何选择更优的方法来正确、快速的解题就是学生的“必修课”了。三角函数求值的题型，从认知结构上说，学生很容易理解题意，动手解题，但是使用方程组的思想还是变角的思想来解题更加便捷呢？怎样帮助他们在解决三角函数求值问题时，正确深入地理解题意，有效准确地选择解题方法呢？在建构主义理论的指导下，我以自主学习为前提，以探究建构为目的，精心设计了一节习题课。在课堂上，通过学生的练，教师的问，学生的问，学生的改和教师的评，利用教师和学生角色互换，使教学过程生动活泼。这不但帮助学生深化认识三角函数求值的问题，还进一步总结出了各类方法的特点，使学生能准确地选择更优的解题方法。

二、预期效果

1.让学生在掌握角的变换方法的基础上，能够自我总结形成观察差异、探究公式使用的一般方法。

2.激发学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其他三角恒等式的方案，形成对三角恒等变换的本质认识，加深对灵活运用公式的理解。

3.培养学生的“问题意识”。在探索的过程中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的。

三、案例回放

1.小题回顾，创设情境

师：前面我们一直在使用各类公式解题，那么下面这些是大家课前预习的题。我请部分同学起来对答案，谈方法，再说公式。

生：……（前3题略）

师：我们来看第4题。请生1来回答。

师：有没有提醒同学们注意的点？

生1：平方关系式开方要注意角的范围，才能确定sinα值的正负。

师：很好。大家对于基础内容都能熟练掌握和简单运用，也能注意角的范围问题了。第4题就是我们常见的已知简单角的三角函数值求复杂角的三角函数值的题型。现在我们把这道题的已知和所求调换位置，大家也能快速地求出cosα值吗？

2.展现方法，暴露思维

问题提出后，学生都在奋笔疾书，当时我设想，学生大多会习惯性将cos（α+■）展开，联立方程组来解题。结果，不知是否因为我前面讲课时强调求值题要关注角，所以不少学生使用了变换角的方法来解题。这是我意料之外的情况。于是，我将两位学生不同的解答方法用实物投影的方式并排放到了一起，请学生讨论和比较。

生2：（方程组）

生3：（变角）

经过比较后，大部分学生认为使用变换角的形式来解题更为方便，比方程组的方法要好。

3.比较学习，深入探究

师：我们来看例1，它就是我们所关心的题型。

在教室巡视时，发现学生的思维已经掉进了我所设计的“陷阱”。绝大部分学生使用变角的方法来解决问题，却迟迟求不出答案。相反，使用方程组解题的学生则迅速地算出了正确答案。

师：不是变换角的方法更加简单吗？为什么遇到这道题行不通呢？两题有什么区别？

生：刚才那道题有角的范围，而这道题没有，变换角时不能确定所求角的范围，所以只能用方程组的方法。

（此时，教师展示了其中一位学生使用变换角的方法解题过程。学生沉默）

师：其实大家已经关注到了角范围的问题，只用这个因素来选择何种解题方法似乎太草率了。实践出真知，我们再来看看下面两题。请在解题时思考用什么解题方法，为什么？

部分学生因为上一题的关系，使用了方程组的方法来解题，在变（2）中受挫，计算十分复杂。部分学生还是使用了变换角的方法，结果变（1）和变（2）都顺利地解决了。

师：大家的解题过程应该让你们有所感悟吧。请问已知复杂角的三角函数值如何求解简单角的三角函数值？什么条件下使用它们？

生：有角范围的题用变换角的方法解题，没有角范围可以使用方程组的方法来解题。

师：那么，变（1）用方程组的方法能够解决问题，但变（2）却不行？是受什么条件影响呢？

（学生沉默）

四、教学感悟

实际教学中，很多时候教师喜欢采用“告诉”的方法，告知学生错因和注意事项，对容易出错的问题提前暗示，事先指出，让学生“防患于未然”。但效果如何呢？往往是学生听起来懂，做起来错，学生责怪自己粗心，教师埋怨学生太笨，果真如此吗？症结何在？正如著名的数学教育家马明先生说的那样：“犹如抛盘子节目，老师抛得越快，学生丢得也越快。”成功的乐趣只有在经历失败的痛楚后才能获得更深切的体验。这节课下了以后，不少学生过来对我说：“老师，我今天很高兴，第一次有了自己努力也能解决数学问题的想法。”这堂课的不足在于有学生正确使用变换角的方法求解例1时，我未能及时分析或是请该生讲解，错过了一次辨析的机会；另外，我的提问过于形式化、简单化，虽然是以学生为主体，多让学生互相辨析、发表意见，但整节课显得有些松散缺乏效率。以后，我会在教学中继续发扬这种做法，备课时多注意问题的用词和串联。

（作者单位 江苏省南京市文枢中学）