追根溯源认清数列的真面貌

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数列问题在现有高考以及竞赛中的出现比较频繁，考虑到数列问题表象是考查一列数的变化，而其本身是一种特殊函数。数学知识点之间彼此存在着内在的联系，如果我们能准确的抓住其联系，往往能从多角度思考分析问题，能找到问题的根源。这里借助几个问题来谈谈如何从函数入手，充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题。

一、利用函数特征处理数列问题

从等差数列、等比数列的通项公式和其前项和公式很容易发现它们与一次函数，二次函数以及指数函数的联系，则我们总可以利用这些函数的相关概念来分析处理问题：

例1 在等差数列中，前n项和为Sn，已知S2=12，S4=44,求Sn．。

分析：本题的常规解法是用等差数列求和公式Sn=na1+ d列出关于a1和d的方程组，解出a1和q。若考虑到等差数列的前n项和Sn= n2+(a1- )n=An2+Bn，则可以考虑Sn=An2+Bn设来求解，从而优化了解题过程。

解：设Sn=An2-Bn，则 S2=4A+2B=14S4=16A+4B=44 可以求出A=2,B=3，所以Sn=2n2+3n。

例2 在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn．。

分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn= 列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算十分繁琐。若考虑到等比数列的前n项和Sn= - qn，设A=- ，则可以考虑设Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程。

解：设Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-A=3S4=Aq4-A=15可以求出A=1，q=±2，所以Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1。

评述：上述两题充分利用等差（比）数列前n项和公式本身所具有的函数特征，则可以用待定系数法直接加以处理，不走弯路。

二、利用函数单调性处理数列问题

例3 已知数列an是公差为1的等差数列，bn= 。

（1）若a1=- ,求数列bn中的最大项和最小项的值；

（2）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围。

分析：对第一问最大、最小是函数的一个特征，一般来说，研究函数的最大值或最小值可以从研究函数的单调性入手，而数列an是定义在N*上的一个特殊的函数，既然数列是一个特殊的函数，当然用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项。对第二问由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列bn中的最大项。

解：(1)由题意，得an=n- ，所以bn= ，

因为bn= =1+ ，考察函数f(x)=1+ ，

当x∈（-∞， ）时，f（x）为减函数，且f（x）＜1，

当x∈（ ，+∞）时，f（x）为减函数，且f（x）＞1。

又n∈N*则比较可得数列bn的最大项为b4=3，最小项为b3=-1。

(2)由题，得an=n-1+a1，所以bn=1+ 。

考察函数f(x)=1+ ，

当x∈（-∞，1-a1）时，f(x)为减函数，且f（x）＜1，

当x∈（1-a1,+∞）时，f(x)为减函数，且f（x）＞1。

所以f(x)=1+ 的图象如右图所示，

所以要使b8是最大项，当且仅当7＜1-a1＜8，

所以a1的取值范围是-7＜a1＜-6。

三、利用函数对称性处理数列问题

例4 等差数列an中，a1＞0，前n项和为Sn，且S9＞0，S10＜0，则n为何值时，Sn最大。

分析：等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数，常数项为0，因此函数的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点。由题意可知该数列公差小于0。

如右对应的抛物线，所以开口向下，与横轴的一个交点的横坐标为0，另一个交点的横坐标在区间（9，10）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当n=5时,Sn最大。

评述：本题的一般解法是利用S9= =9a5＞0，S10= =5（a5+a6）＞0，得a1＞a2……a5＜0＞a6＞a7＞……故当n=5时，Sn最大。

由此可见利用函数图象，解法直观，一目了然。

函数是高中数学的非常重要的知识，教学中它是个主线贯彻了高中各个知识，从上面几道例题可以看出如果我们抓住数列的本身函数特征，利用函数知识去处理相关问题，这样可以帮助学生认识其本质，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。

（作者单位：江苏省扬州市江都区丁沟中学）