局部换元法解决函数问题的常见题型
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摘 要：局部换元是换元法中的一种最常用的方法，是在已知或者未知中，某个代数式多次出现，而用一个变量来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现． 在高中数学关于求解某些函数的解析式、最值、值域等问题时，也经常用到局部换元法．
关键词：函数；换元法；转化；局部换元法
局部换元法又称整体换元法，是换元法中的一种最常用方法，解题时把已知或者未知中某个多次出现的式子看做一个整体，用一个变量去代替它，当然有时候要通过变形才能发现．
既然局部换元是一种换元方法，那么它的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，使得复杂问题简单化． 比如，当朋友弄不明白你的说话意思时，你会来一个“换句话说”，就是保留原意而改变表述形式的意思．在处理数学问题时，往往需要若干次的“换句话说”才能把原来的问题化难为易、化繁为简或化生为熟．
那么在高中数学的函数问题中，有哪些题型可以用局部换元法呢？笔者简单归纳如下：
1． 函数F（f（x））=g（x）
形如F（f（x））=g（x），我们通常是令t=f（x），再用t来表示x，得到x=h（t），最后将t=f（x）和x=h（t）代入F（f（x））=g（x）中就达到了换元的目的，得到F（x）的解析式．
例1 已知函数f（x3）=lgx（x>0），求f（x）．
解：令t=x3（t>0），则x=，则f（t）=lg=lgt=lgt，故f（x）=lgx（x>0）．
再如已知f（3x+1）=4x+3，求f（4）的值． 我们只需令t=3x+1（t∈R），则x=，则f（t）=4+3=+，故f（4）=+=7．
2． 三角函数f（sinx±cosx，sinxcosx）
形如f（sinx±cosx，sinxcosx）的三角函数，求三角式的最大值和最小值时，我们往往是令题中的sinx+cosx=t，然后两边平方，找出sinx•cosx与t的关系，最后将题中的sinx和cosx转化为关于t的二次函数或一次函数来研究．其中最常用的公式是平方关系式sin2x+cos2x=1．
例2 设a>0，求f（x）=2a（sinx＋cosx）－sinxcosx－2a2的最大值和最小值．
分析：抓住sinx＋cosx与sinxcosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，换元过程中一定要注意新的参数的取值范围（t∈［-，］）与sinx＋cosx的对应关系．
解：设sinx＋cosx=t，则t∈［-，］．
由（sinx＋cosx）2=1＋2sinxcosx，得sinxcosx=，所以f（x）=g（t）=－（t－2a）2＋（a>0），t∈［-，］．
当t=-时，g（t）min=－2a2－2a－；当2a≥时，t=，g（t）max= －2a2＋2a－；当0
所以f（x）min=－2a2－2a－， f（x）max=0
3． 根式函数y=f（x）+g（x）（f（x）或g（x）为根式）
对于根式函数y=f（x）+g（x），如f（x）与g（x）中存在某种联系，则令t=f（x）（或t=g（x））． 若需要去掉根号，则将t=f（x）（或t=g（x））两边平方，化为关于t的二次函数．
例3 求函数y=+的值域．
分析：本题中的f（x）=与g（x）=是互为倒数关系，用局部换元法．
解：设t=，则t∈［2，+∞）且y=f（t）=t+．
在［2，+∞）上任取t1
故函数的值域为y∈，+∞．
例4 求函数y=x+的值域．
分析：此题用局部换元法须将t=两边平方，去根号，化为关于t的一元二次函数．
解：设t= （x≤2），所以x=2-t2（t≥0），于是y=2-t2+t=-t-2+（t≥0）．
显然，当t=∈［0，+∞）时，y有最大值，故函数的值域y∈-∞，.
4． 复合函数y=f（g（x））
对于复合函数y=f（g（x）），令t=g（x），则将原函数化为y=f（t），不过需要特别注意t的取值范围．
例5 函数y=（1－x2）的值域．
分析：本题是一道简单的复合函数求值域问题．
解：令t=1－x2，则y=． 因为函数的定义域是｛x-1≤x≤1｝，所以0≤t≤1，所以0≤y≤1，故原函数值域为｛y0≤y≤1｝．
本题通过局部换元法引入了一个新的变量t，t扮演了一个“传递者”的角色，根据这一点，由内向外，层层分析，达到求原函数值域的目的．
我们使用局部换元法时，须按照化繁为简、化生为熟、化隐为显的思路，换元后要注意新变量取值范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大． 如例1中t>0、例2中t∈［-，］、例3中t∈（2，+∞）、例4中t≥0和例5中0≤t≤1.