数列的性质及通项、求和的应用探究

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摘要：数列的基本性质、通项及求和是高考考查的基本内容，属于基础题，一般情况下客观题型小而巧，主要考查等差、等比数列的性质，难度中等。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通解通法。

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：a3+a8+a5+a6=18，a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■・a■=a■・a■，特别地，当m+n=2k，则am・an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）2+2q2=4q+2，q=2或0，q≠0，q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）―（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。

（责编 金 东）