从一道高考题引发的思考

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【摘要】纵观江苏历年高考试题，很多题目可在课本上找到影子。再看历年高考考纲，对课本上的例题习题也非常关注。结合高三复习资料上的各类题型，思考如何选择复习例题，可以准确把握高考方向，起到事半功倍的效果。

【关键词】余弦定理基本不等式回归课本

2010年江苏卷第17题：

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一 组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大。

这道题，从老师的角度来看，它考查的知识并不深奥，计算量适中，难度系数不高。可是从学生出考场的反馈来看，似乎很多学生对此道题无从入手。首先是应用题对学生来说，心理上本来存在畏惧感；其次，看到题中数据中有小数，已经有点发怵；最后，未知量较多，罗列不出关系，理不出思路。笔者禁不住思考：学生为何对这样的问题有这么大的畏难心理？是否是平时的复习出现了偏差？针对学生这样的问题，我们高三复习课应该有何方向呢？带着这些问题，笔者沿着这道题，寻找其深层的原因和复习的对策。

从知识模块来看，这道题考查的是解三角形的应用，并且这道题并不陌生，它究竟源于何处呢？针对考纲，查找课本，仔细研究，发现这道题其实出去课本上两道题的综合，是测量问题和张角最大的结合。那么高考题也并不是学生所想的多么高深，多么神秘，其思想方法或者题型其实都是源于课本。而平时的高三复习中，教师或许只是依据现成的复习资料，讲题，讲方法，而很少去看课本上究竟有哪些例题，习题？高考前提出的回归课本是否应该落实到每一天的复习教学中呢？

带着这些问题，笔者进行了下尝试。此时刚好复习到正弦定理和余弦定理的应用，结合对这道题的思考，笔者对这一节内容的题目与课后习题作了仔细的对比研究，发现大量的习题都是课本上的原题或者同类型方法的题。那么这节内容的复习，能否从课本入手呢？带着这个疑问，设计了下面的复习纲要：

引例：（必修五、P21习题6）

把一根长为30厘米的木条锯成两段，分别作钝角三角ΔABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，如何锯断木条，才能使第三边AC最短？

分析：已知ΔABC中，∠ABC=120°，a+c=30，求a、c为多少时，b最小？

方法一：设a=x，则c=30-x（0

由余弦定理：b2=x2+(30-x)2-2x(30-x)cos120°

即：b2=x2-30x+900

由二次函数可得：x=15时b有最小值 。

方法二：由余弦定理：b2=a2+c2-2accos120°

=(a+c)2-3ac

=900-3ac

由基本不等式

得到ac≤225当且仅当a=c时“=”成立。故

这道题起点低，比较容易上手。方法一是设一个变量，借助二次函数解决最值问题。方法二是两个变量，借助基本不等式解决最值问题。两种方法都比较常规，对学生自信的培养有一定的帮助。在这道题的基础上逐步引导学生，变化出一系列的问题：

联想一：条件不变，问题可以有哪些变化？

（1） 周长的最小值；

（当且仅当x=y=15时，“=”成立），

（2） 面积的最大值。

（当且仅当x=y时，“=”成立）

即Smax=

（3） 最长边与最短边的比为m，则m的取值范围如何？

分析：不妨设 为最短边，则

由

即0

联想二：在上面（3）的基础上，适当转变条件，增加点难度，如何？

（4） 若钝角Δ 的内角成等差数列，且最大边与最小边的比为m，那么m的取值范围如何？

分析：不妨设A

而

由

即所以m>2

这道变题，在上面例题的基础上，还是已知了定角，但是加了附加条件（钝角三角形），那么对角就有了些限制条件，相对增加了一点难度，但是还是可以顺利解决的。

联想四：能否已知定角和对边，在这样的基础上来研究问题呢？

引例：（必修五、P21习题6）

已知∠A为定角α（α为定值），P，Q分别在∠A 的两边上，PQ为定长a（a为实常数），问当P，Q处于什么位置时，ΔAPQ的面积最大？

分析：第一步，建模：已知在ΔAPQ中，∠A=α，PQ=a，问AP，AQ分别为多少时，ΔAPQ的面积最大？

分析：设AP=x，AQ=y，则

由余弦定理：PQ2=x2+y2-2xy•cosα

即a2=x2+y2-2xy•cosα≥2xy-2xy•cosα（当且仅当x=y时，“=”成立）

所以，a2≥2xy(1-cosα)，由cosα∈(-1,1)，得1-cosα>0，

所以， ，即

难点：解决x=y

方法一：

同时成立，即

方法二：

面积取最大值时，ΔAPQ为等腰三角形，

取PQ中点M，连AM，则AMPQ，由 ， ，得 ，即

这道课本习题在上一题的基础上把数字变为了字母，改变了一个条件，但是方法却只能设二元，利用基本不等式来解决。一元无法解决此类问题。难度依次增加。

那么仔细分析这道题，当对角和对边都定的时候，本质上，这个三角形在如何变化呢？

由三角形的正弦定理可知，外接圆的半径一定。那么与外接圆有关的问题有哪些呢？

联想五：

（5）条件不变，求面积的最大值和周长的最大值。

分析：由正弦定理：

再利用三角公式化为y=Asin(ωx+φ)，求最值。

（6）已知 中， ， 的外接圆半径为

①求角C；

②求ΔABC面积的最大值和周长的最大值。

分析：①

②由 ，得：

故

由 ，得：

由 ，得：CΔABC的最大值为

联想六：定角，定面积，求第三边的问题。

（7）如图，某生态园把一块斜边长为2的直角三角形地辟为水果园，若角A为30°，P、Q分别在直角三角形斜边AB和直角边AC上，且直线段PQ将水果园分成面积相等的两部分。

①如果PQ是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，问P、Q的位置应该在哪？

②如果PQ是参观路线，希望它最长，那么P、Q的位置又应该在哪里？

分析：

①

当且仅当 时，等号成立。

②

借助基本不等式和函数单调性，得： 时，PQ2有最大值

联想七：只定一个角，边均不定，但是有一定的关系。

（8）为了立一块广告牌，要制造一个三角形支架，要求∠ABC=60°，BC的长度大于1米，且AC比BC长0.5米，为了使广告牌稳固，要求AC越短越好，求AC最短为多少米？

分析：设BC=x，AC=y，则AB=y-0.5

由余弦定理：(y-0.5)2=x2+y2-2xy•cos60°

即

当且仅当 ，即 时，“=”成立。

这道题在上面题型的基础上再次增加难度，难点是因变量和自变量如何去选取，关系不是很明确，需要学生自己摸索理清思路。

联想八：在以上这些问题的基础上，结合高考，改编如何？

（9）等腰ΔABC中，中线BD=3，求ΔABC面积的最值。

分析：设AD=x，则AB=2x，

由余弦定理：

A∈(0,π)，故

方法一：

当且仅当：x2-1=9-x2，即 时，等号成立

方法二：借助二次函数解决

方法三：建系，求出点的轨迹，借助圆解决最值。

顾泠沅先生曾说过：学习数学要吃“三个馒头”，

前两个馒头是基本概念和基本原则，

最后一个馒头是“创造性的问题解决”。作为新的教学模式要求下的教师来说，应该激发学生的质疑，勇于去探索，品尝到“第三个馒头”的滋味。那么这就要求教师对课堂的设计和课堂的引导作很多的尝试。我认为：首先要仔细阅读《高考说明》，抓住考纲，以考纲作为复习的依据；其次，仔细研究近几年的高考题，仔细剖析高考动向；再次，认真研究复习资料中的题型，与课本上的例题、习题作仔细的对比，追根溯源，精选精讲；最后，通过引导，启发学生对例题作一系列的联想，再解决问题，熟练掌握一类问题及其解决方法。复习课又应该引导学生呢？我认为在课堂中要给学生主动权，在一个问题的提出后，充分开发学生的创造性思维，而创造性思维更多的是体现在思维的发散上面，而发散性思维是对一个问题沿着不同的方向、不同的角度，从多方面联想的思维方式。老师需要把握好方向，从条件的发散、结论的发散、问题的发散、图形的发散、方法的发散等这几个方面作好引导。