《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议
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【摘 要】三角函数是中职数学教学中的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。学习三角函数将对函数的周边概念如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建构更完整的认识。教师在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数的区别与联系，同时要特别注重数形结合、类比等数学思想方法的渗透。本文还分节给出了在教学准备、教学探究、教学过程及例题处理等具体环节的教学建议。
在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。
初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。
本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。
本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。
《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。
《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。
本章可看作是第三章（函数）的延伸和拓展，在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数之间的关系，即个性与共性之间的关系。同时，在本章的教学中，要特别注意数学思想方法的渗透，如突出“数形结合”的思想方法。由于三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，所以教学中既要“以形助数”，突出几何直观帮助学生理解抽象概念，又要“以数助形”，通过代数性质反映图像的变化规律。再如，由锐角的三角函数值到任意角的三角函数值，三角函数图像上一点的作法到一个周期内的图像上的画法乃至整个定义域上的图像的画法等都遵循了由特殊到一般的思维方法。学好余弦函数的图像和性质的最有效的方法是与正弦函数的图像和性质进行类比。
下面，笔者对本章的教学内容，从学习准备、教学探究、教学过程及例题处理等方面，分节给出教学建议。
一、5.1角的概念推广（2课时）
在学习了角概念的基础上，本节的学习将进行角的概念推广。在初中，角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，角的范围是0°～360°。
为了研究的方便，常将角放在平面直角坐标系中，一般将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的正半轴重合。这样对所有的角来说，角的顶点、始边是相同的，区别仅在终边，而终边的位置就决定了它是哪个象限的角。
锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。
由“问题解决”可归纳出一般的结论：
若α是第一象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，则α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，则α/2是第二或第四象限角。
二、5.2弧度制（1课时）
本节的学习是在初中学习的角度制基础上进行的。首先要引导学生回顾角度制的规定：一个周角的1/360叫做一度。
在此基础上通过多种形式的教学活动使学生理解：弧度制是一种新的度量角的单位制。一个角的弧度数就是这个角（以角的顶点为圆心，任意长为半径的圆的圆心角）所对弧的长度与半径的比值，关键是要掌握弧度与角度换算的基本关系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。
三、5.3任意角的三角函数（2课时）
本节的学习是在初中角的正弦函数、余弦函数、正切函数等概念的基础上进行的。在初中，学生是通过直角三角形边的比值来规定角的三角函数值：对于一个直角三角形的锐角，其正弦值为对边与斜边的比值，余弦值为邻边与斜边的比值，正切值为对边与邻边的比值。现在对任意角，分别用三个比值y/r、x/r、y/x来规定，它们都只与角的终边所在位置有关，而与点P在角的终边上的具置无关。
从“问题解决”中，我们可以得出结论：
一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就等于这个角的正弦；与单位圆交点的横坐标就等于这个角的余弦；与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比值就等于这个角的正切。
由讨论可知，对于任意角α，它的正弦、余弦都有意义（因为r>0），但正切不同（因为tanα=y/x，x有可能为0），只有当x≠0，即角α的终边不在y轴上才有意义。因此，正弦函数、余弦函数的定义域都是R，正切函数的定义域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。
要确定角α的三个三角函数值的符号，关键还应从任意角的三角函数的定义出发，结合图形更容易掌握。
四、5.4同角三角函数的基本关系（2课时）
本教材是利用单位圆导出同角三角函数基本关系的：角α的终边与单位圆的交点的纵坐标就等于sinα，横坐标就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（称为平方关系）；再由正切的定义tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（称为商数关系）。
由两个基本关系式可知，一个角的正弦、余弦、正切函数值之间是相互关联的。因此，已知一个角的一个三角函数值，就可利用基本关系式求出其余两个三角函数值。
学习了同角三角函数的基本关系后，除了可以解决已知一个角的某个三角函数值求其余三角函数值，还可以对三角函数式进行化简。要启发学生在解题的基础上讨论并总结化简的原则。
五、5.5三角函数的诱导公式（2课时）
根据终边相同的角的同名三角函数值相等，就能得到诱导公式1；根据单位圆上点的坐标及对称关系，就能得到诱导公式2、诱导公式3、诱导公式4。
要掌握三角函数的诱导公式，关键是要掌握公式2、3、4的特点：函数名称不变，至于正负号，可以通过特殊化的办法来确定。既然公式对任意角α都成立，那么，当α是锐角时当然也成立。当α是锐角时，-α为第四象限角，其正弦、正切值为负，余弦值为正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分别为-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。
用诱导公式可以把任意角的三角函数值化为[0，π/2]内的角的三角函数值，正确地化角和正确地运用诱导公式是关键。
由“问题解决”可知，诱导公式之间是有联系的。如对于sin（π+α），我们可以作如下转化：
sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.
分析例4时要引导学生回顾：判断一个函数的奇偶性，一般都是从定义出发。在确认了定义域关于原点对称后，接着就考察f（-x）的结果等于f（x）还是-f（x），进而判定这个函数是偶函数还是奇函数。
六、5.6正弦函数的图像与性质（3课时）
用正弦线作正弦曲线的好处是不需要计算角的正弦值，实际就是把正弦线平移到相应角的位置。这里要特别注意在坐标系里横轴、纵轴的单位必须一致，同时注意曲线的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五点法”作正弦曲线，实际就是列表描点法。这里的五个点分别是曲线与x轴的交点和最高点及最低点，它们的横坐标的间隔是π/2。
无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到曲线上的一些点，再用光滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后就要把握好正弦曲线的形状和特征，能迅速画出正弦曲线的草图。
由教材P152的“思考交流”所得结论，我们可以进一步推广：y=-f（x）的图像，与y=f（x）的图像关于x轴对称，y=f（x）+1的图像，可以由y=f（x）的图像向上平移一个单位而得到。
无论是单位圆中角在旋转过程中正弦线的变化规律，还是由诱导公式1，均能得出正弦函数的图像是呈“周而复始”的规律的。结合周期函数的定义和对周期的规定，由“探究”所得结论可知，正弦函数y=sinx是周期函数，它的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π。
要判断一个函数是否为周期函数，通常是按照定义，寻找非零常数T，满足f（x+T）=f（x）。由于已约定，在没有特别说明的情况下，我们所说的周期都是最小正周期。因此，在找到这样的常数T之后，还要再找出其中的最小正数。
由于正弦函数y=sinx的周期为2π，也就是说其图像每经过2π就重复，因此，要讨论正弦函数的单调性，只需选取长度为2π的区间即可。
解决了例3后，可启发学生总结：遇到出现含有正弦式的等式，求其他量的范围问题时，通常是把正弦式放在等式的一侧，其余的放在另一侧。由于sinx的取值范围是[-1，1]，等式另一侧表达式的取值范围也就是[-1，1]，这样就可求出其他量的范围。
不求值比较两个角的正弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的正弦，再根据单调性来确定它们的大小。
七.5.7余弦函数的图像与性质（2课时）
本节的教学过程中要充分运用好类比法，利用上一节研究正弦函数的图像与性质的类似方法来研究余弦函数的图像与性质。
与画正弦线类似，我们要画出余弦函数y=cosx图像上的点（x，cosx）。但余弦线不像正弦线那样是“竖立”的。从画图的角度来说，得到每一个角的余弦线后，用圆规还是可以把它移到相应的位置使它“立”起来的，但这样做比较麻烦。用教材P157上的图5-23，就能达到使它“立”起来的效果，这样画图就比较方便。
无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到余弦函数y=cosx图像上的一些点，再用平滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后把握好余弦曲线的形状和特征，就能迅速画出余弦曲线的草图。
仔细观察教材P159的“思考交流”中的图5-28，我们可以发现余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。
类比正弦函数的性质，很容易得到余弦函数的前三个性质，对照正弦函数的性质，余弦函数的定义域、值域、周期没有变化，最大的区别在于奇偶性（是偶函数）、单调性（单调区间不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自变量不同）。如此类同的根本原因，可以从几何上得到解释：余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。
不求值比较两个角的余弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的余弦，再根据单调性来确定它们的大小。
对于例3，解决时要有整体意识，即把x/3看作一个角，为了方便，用换元法，设t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，从而得到x=6kπ。最后还须注意把所得结果写成集合形式。
八、5.8已知三角函数值求角（2课时）
为了解决有关已知三角函数值求角的问题，学生需要具备良好的基础。为此，教师要组织同学一起回顾本章前面所学的知识，特别是诱导公式，各个象限的三角函数值的符号以及特殊角的三角函数值等。
两处“思考交流”，都是把例题中的角的范围扩大到实数集R，此时满足题意的角就有无数个：当其正弦值为正时，它们应分别是第一、第二象限角。由例2中已得到满足题意的两个角：π/4和3π/4，再得到所有满足题意的角的集合：{α│α=π/4+2kπ或3π/4+2kπ，k∈Z}；当余弦值为负时，它们应分别是第二象限角和第三象限角。由例4中已得到满足题意的两个角129.79°和230.21°，再得到所有满足题意的角的集合：{x│x≈129.79°+k·360°或230.21°+k·360°，k∈Z}。
（作者单位：南京幼儿高等师范学校）