一道课本例题的探究拓展与应用

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一、问题的提出

人教版普通高中课程标准实验教科书数学（必修5）第50页例2中，数列{an}满足a1=1，an=■an-1（n≥2），求得an=■n-1，在学习中若仅停留在解答完此题的基础上，确实有鼠目寸光之嫌，若能以该题的解答为引，对该题加以探究与拓展，则有登泰山而小天下之感。笔者将引导学生探究过程摘录如下。

二、问题的探究

探究一：将数列{an}递推关系式中添加常数可得递推关系an=qan-1+c（n≥2）。

例1 数列{an}中，a1=■，an=■an-1+1（n≥2），求{an}的通项公式。

解：令an+t=■（an-1+t），可得t=-1，从而{an-1}是以■为首项，公比为■的等比数列，an=■+1。

探究二：将数列{an}递推关系式中添加关于n的一次函数可得递推关系an=qan-1+kn+c（n≥2）。

例2 数列{an}中，a1=3，an=■an-1+n+1（n≥2），求{an}的通项公式。

解：令an+An+B=■[an-1+A（n-1）+B]可得A=-2，B=0，从而{an-2n}是以1为首项，公比为■的等比数列，an=■+2n。

探究三：将数列{an}递推关系式中添加关于n的指数函数可得，an=qan-1+cn（n≥2）。

例3 数列{an}中，a1=-■，an=■an-1+■（n≥2），求{an}的通项公式。

解：令an+t■=■an-1+t■可得：t=-2。

从而{an+■}是以■为首项，公比为■的等比数列an=■-■。

例4 数列{an}中，a1=■，an=■an-1+■（n≥2），求{an}的通项公式。

解：■=■+1，从而■是以1为首项，公差为1的等差数列，an=n・■。

注：例3中q≠c可构造为等比数列，例4中q=c只能构造为等差数列。

三、问题的拓展

通过探究递推关系式的结构特征与解题规律，可引导学生总结出推论。一般地，对于给定递推关系式为：

an+1=qan+Aqn+1+t1b1n+t2b2n+…+tmbmn+pknk+pk-1nk-1+…+p1n+p0（q・b1・b2…bm≠0，A，t1，t2…tm，pk…p0为常数）的数列。

当q≠1可递推关系式构造为特殊数列来求an，即■=■+A。

将上式展开变形为与给定递推结构相同的形式，比较bin、n的同次项的系数，解方程组可得xi、yi的值。

特殊情况，当q=1时，递推式变为an=an-1+f（n）（n≥2）。

可用累加法求an，即an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，an=■f（i）+a1。

回归探究可知，探究仅是推论中A、ti、pi某些常数为零的特例。

四、结论的应用

例5 数列{an}中，a1=6，an+1=2an+2n+1+3n+2×4n+n2-n-1，（n∈N*），求{an}的通项公式。

解：令■=■+1。

可得x1=-1，x2=-1，y3=1，y2=1，y1=1。

■是以1为首项，公差为1的等差数列。

从而■=n，an=n2n+3n+4n-n2-n-1。

这类问题研究完了，学生的情绪也达到了高潮，也充分体验了研究过程和成功带来的喜悦，学习信心、兴趣倍增。

总之，在平时的教学中，多从教材的例题、习题、练习题、复习题及公式推导过程去引导学生去探究发现，对学生创新能力培养是大有好处的，这也是为了学生终身学习应该坚持的一条原则。

（作者单位：湖南省江华县第二中学）