巧用“借来还去法”解题

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相信绝大部分同学都听过这个“借羊分羊”的故事：从前有个农民，他有17只羊，临终前，他嘱咐把羊分给三个儿子，他说：“大儿子分一半，二儿子分三分之一，小儿子分九分之一，但是不许把羊杀死或者卖掉。”三个儿子没有办法分，就去请教邻居。聪明的邻居带了一只羊来给他们，羊就有18只了。于是，大儿子分二分之一，得9只；二儿子分三分之一，得6只；小儿子分九分之一，得2只。三个人共分去17只，剩下的1只，当然由邻居带了回去。

这个故事中邻居巧妙地借出他的那只羊，顺利地解决了三兄弟的分羊难题。在数学学习中，我们有时也可以运用这种“借来还去”的方法，虚拟一个情景，使解题变得简便。

【例1】某商店出售汽水，为了回收空瓶，商店规定：每3个空瓶可以换1瓶汽水。王老师给秋游回来的同学买汽水，秋游的同学一共有27人，但是王老师只买了18瓶汽水。王老师说：“每人都能喝上1瓶。”你认为王老师说的对吗？

【分析与解】对。先让18人喝汽水后，用18个空瓶换回18÷3=6（瓶）汽水，另6名同学喝完汽水后，用6个空瓶换回6÷3=2（瓶）汽水，另2名同学喝完2瓶汽水后，向商店借1个空瓶，用3个空瓶换回1瓶汽水，最后一人喝完这一瓶后再还给商店。18+6+2+1=27（瓶），所以王老师说的对。

还可以这样想，先让18人喝汽水后，就会剩下18个空瓶。因为3个空瓶可以换1瓶汽水，喝完后还剩1个空瓶，相当于喝1瓶汽水只花费了2个空瓶子。照这样的办法，用18个空汽水瓶就可以喝到18÷（3-1）=9（瓶）汽水。

【例2】一位农民卖鸡蛋，第一次卖去篮中的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，还剩下一个。篮中原有多少个鸡蛋？

【分析与解】这道题的解法有好几种，但是只有一种是最简单的。我们想想看，一篮子鸡蛋分了一半出现了半个，说明鸡蛋个数是奇数。为了避免出现半个鸡蛋，这位农民应当事先向别人借1个鸡蛋放在篮子里，这样每一次都不会出现半个鸡蛋了。也就是说，第一次卖去篮中的一半，第二次卖去剩下的一半，剩下2个。于是，这时，篮中鸡蛋个数为：2×2×2=8（个）。刚才借了一个鸡蛋再还给人家，这样可以求出这位农民篮中原有鸡蛋的个数为：8-1=7（个）鸡蛋。