解析几何工坊(全文)

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(本工坊参考近年高考试卷的难度,结合新课程要求,设立了三个星宫,星级越高,其中的题目难度越大.顺利通关后,你就能成为相应的星级 “工人”. 还等什么呢?快来一展身手吧!)

一星宫

1. 过直线l1:3x-5y-3=0和l2:3x+5y-3=0的交点,且与直线x+4y-7=0垂直的直线方程为.

2. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为

(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

3. 2y=所表示的曲线是

(A) 圆 (B) 椭圆上半部分

4. 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P. 若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

(A) (B) (C) 2- (D) -1

5. 已知F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,P,Q为双曲线右支上的两点. 直线PQ过F2,且倾斜角为α,则PF1+QF1-PQ的值为

(A) 4 (B) 8 (C) 2 (D)随α的大小变化

二星宫

6. 已知经过A(m,2),B(-m,2m-1)的直线倾斜角为α,且45°

7. 动点P在椭圆x2+a(y-1)2=a (0

(A) 1 (B) 2 (C) 2(D)

8. 已知一圆与圆(x-3)2+y2=9外切,且与y轴相切,则该圆圆心的轨迹方程为.

9. 若双曲线-=1与-=-1(a>0,b>0)的离心率分别为e1,e2,则当a,b变化时,+的最小值是

(A) 4 (B) 4 (C) (D) 2

10. 抛物线的焦点为F,准线l交x轴于点R,过抛物线上一点P(4,4)作PQl于点Q,则梯形PFRQ的面积是.

三星宫

11. 已知抛物线C:y2=4x的顶点为O,过点(-1,0)且平行于向量a=(1,k)的直线与抛物线交于A,B两点. 则当实数k变化时,

(1) 求证: •是一个与k无关的常数;

(2) 若=+,求的最小值.

12. 已知椭圆E:+=1 (a>b>0),以F1(-c,0)为圆心、a-c为半径作圆F1;再过点B2(0,b)作圆F1的两条切线,设切点分别为M,N.

(1) 若过两切点M,N的直线恰好经过点B1(0,-b),求椭圆的离心率;

(2) 若直线MN的斜率为-1,且原点到MN的距离为4(-1) ,求此时的椭圆方程;

(3) 是否存在椭圆E,使得直线MN的斜率k在区间-,-内?若存在,求出椭圆的离心率e的取值范围;若不存在,请说明理由.

【参考答案】

1. 4x-y-4=0 2. D 3. C 4. D 5. A 6. -∞,

7. B8. y2=12x或y=0 (x

11. (1) 证明:由题意可知,直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),联立y=k(x+1),y2=4x,得ky2-4y+4k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4,x1x2=•=1, •=x1x2+y1y2=5为常数.

(2) 解:设M(x,y),由=+=(x1+x2,y1+y2)得2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+2+(y1+y2)2=[(y1+y2)2-2y1y2]2+(y1+y2)2=+4. 又由第(1)问可知,Δ=16-16k2≥0,得-1≤k≤1,且k≠0, OMmin=2.

12. 解:(1) 圆F1: (x+c)2+y2=(a-c)2. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则切线B2M: (x1+c)(x+c)+y1y=(a-c)2,B2N:(x2+c)(x+c)+y2y=(a-c)2都过点B2(0,b). c(x1+c)+y1b=(a-c)2,(x2+c)c+y2b=(a-c)2,因此过点M,N的直线方程为c(x+c)+yb=(a-c)2. 又直线MN过点B1(0,-b),代入可得:c2-b2=(a-c)2, e==-1.

(2) 直线MN的斜率为-=-1, b=c,a=c;原点到直线MN的距离为=4(-1),即a-2c=4(-1),解得a=4,b=c=2,所求椭圆方程为:+=1.

(3) 假设存在椭圆E,则-

解析几何工坊

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