让操作更“进”一步

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新课程倡导动手实践、自主探索和合作交流等学习方式，把动手实践提升到了新的、更重要的高度。现在，许多教师已经认识到操作的重要性，开始重视学生的操作活动，课堂面貌发生了可喜的变化。但综观许多操作活动，笔者发现：学生只是较多地动手、动眼和动口，未充分地动脑，他们的许多认识仅仅停留在感性层面，其自主探究和抽象思维等能力并未因此得到有效的培养。为此，笔者建议：让操作更“进”一步，即让操作“进”到探寻数学思想，“进”到利用表象进行思维，“进”到揭示研究方法的层面。现结合实例谈谈笔者的一些做法：

一、 “进”到探寻数学思想

数学思想方法是数学活动中解决问题的基本观点和根本方法，是对数学知识的本质认识。由于数学思想方法常是内隐的，学生难以察觉，为此，教师要引导学生透过外显的操作活动，探寻内在的数学思想方法，做到既立足于当前操作，又在适当的时候跳出直观的、具体的操作，从相对抽象、更为一般的层面上把握知识，从而把认识和推理提升到一个更高的水平。

如在教学四年级上册“角的认识”时，对于不易直接看出大小的两个角，教师常启发学生操作活动角进行比较，即先把活动角与需要比较的一个角完全重合，再把这个活动角捏紧“固定”，移到待比的角上，分别重合顶点和一条边，从而比出大小。最后通过讨论和交流，总结出比法：顶点重合，一边重合，看另一边，哪个角的另一边在外，那个角就大。教学到此结束。笔者认为，这样做还不够，还应更“进”一步。教师应从数学思想方法的高度让学生进一步理解此法，以深化认识。笔者在此基础上，引导学生回忆：在刚学习“线段的认识”时，对于不能直接看出长短的两条线段，我们是怎么比的――先重合它们的一个端点，再看另一端点，哪条线段的另一端点在外，那条线段就长；在刚学习“面积的认识”时，对于不能直接看出面积大小的两个长方形，我们可怎么比――先重叠，再比较剩余部分，如果剩余部分还是不能直接比较大小，就通过剪、移等方法再重叠……直至比出大小，或通过摆相同的小方块，通过数个数比出大小。笔者引导学生分析、比较，逐步概括出它们的共同点，从而归纳出隐含其中的数学思想方法――对应与重合。这样，从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性，超越了具体的操作活动，学生就容易形成“方法链”。其实，在“空间与图形”领域，对应与重合运用得较多，各种测量在本质上都是对应，只不过有的是直接对应，有的是间接对应。

及时探寻和提取操作中的数学思想方法，会使学生对方法的理解更深刻，学生也易自觉迁移和主动运用这些思想方法，形成方法体系。

二、 “进”到利用表象进行思维

表象源于感知，高于感知，具有直观形象性和初步概括性的双重特点，是人们的认识由感知向抽象思维过渡的中间环节。有了表象，就有了记忆，就可能发生思维、想象等智力活动。在“空间与图形”领域，由于许多知识的抽象程度高，而小学生的思维正处在具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，所以，我们确实需要加强操作活动，以帮助学生获得准确、鲜明的表象，并储存相关的表象。但我们也不能过多地依赖、或停留于操作，因为那样会“折断”学生想象的翅膀，影响空间观念的形成。我们需要引导学生学会用表象进行思维，以增强空间知觉。

如在教学六年级“长（正）方体的认识”后，苏教版教材新增一节课，专门研究长（正）方体的展开图。书中有这样一题：

下面哪些图形沿虚线折叠后能围成正方体？先想一想，再把第121页的图形剪下来试着折一折。

许多教师在学生猜想、操作验证后，就结束了教学。笔者认为，这样就弱化了此题培养学生空间想象力的功能。其实，教材编排此题的目的是想让学生进一步认识长（正）方体的特征，熟悉长（正）方体的各个面、棱和顶点在展开图中的位置及其分布，能让学生在平面图与立体图之间进行转换，以发展空间观念，并为教学“表面积”作准备。教师理应深入钻研教材，切实把握编排意图，充分挖掘和发挥习题的教育价值。对于上题，笔者在学生第一次猜想和操作后，更“进”一步，要求学生操作后再想象：即对上述每幅图先假定其中一个正方形为正方体的底面，再站在同一位置，想象并标注出其他正方形在立方体中的可能位置（如前、后、左、右、上面），想象有无重叠或缺少的面。然后，引发学生再次进行操作验证的需求，让其进一步体会表象和想象的作用。学生不断地猜想，不断地操作验证，逐步从借助操作，验证猜想过渡到直接在“脑中折”，速度越来越快，其思维水平逐渐从动作思维过渡到表象思维，再提升到抽象思维。

实践证明，在“空间与图形”领域，学生表象储备得愈多，愈有利于问题的解决，愈有利于空间观念的形成。为此，教师一定要把握学科特点，明确操作目的，提升操作的思维层次，积极为发展学生的抽象思维服务。要通过操作活动，帮助学生建立和获得、丰富和积累表象，以便唤起和提取表象，特别要善于引导学生根据表述的文字或语言，再现相应的表象，必要时外化表象。

三、 “进”到揭示研究方法

操作是一种重要的探究方式，是获取新知的重要途径。其实，研究方法也是一种重要的数学活动经验。在进行操作时，我们如能适时揭示探究方法，并使学生具体感受到这种方法，就能为其今后自主设计操作活动，自主研究问题奠定基础。

如在教学六年级上册“长方体的体积”时，在学生理解和掌握了“计量一个物体的体积，就看它包含多少个体积单位”后，笔者进行了如下的教学：先让学生猜测，长方体的体积可能与它的什么有关？学生结合生活经验和已有知识，大都认为与它的长、宽、高有关。接着，笔者引导学生通过操作进行探究。笔者出示一块长4厘米，宽1厘米，高1厘米的长方体橡皮，问学生：它的体积是多少？学生认为它的体积是4立方厘米，并用操作进行说明。笔者引导学生思考：假如我们让这个长方体的长、宽、高中任意两个量不变，只变化其中一个量，它的体积会发生怎样的变化呢？学生借助操作、分析和比较，发现：当宽和高都不变，只变化它的长时，长越长，体积越大，如果长是原来的几倍，体积就是原来的几倍；同样，当长方体的长和宽都不变，只变化它的高时，高越长，体积越大，如果高是原来的几倍，体积就是原来的几倍；当长和高都不变，只变化它的宽时，宽越长，体积越大，如果宽是原来的几倍，体积也是原来的几倍。

这时，笔者引导学生进一步思考：假如我们让长方体的长、宽、高中任意一个量不变，变化另外两个量，它的体积会发生怎样的变化呢？学生通过猜想、操作、分析和比较，发现：当长不变，只变化它的宽和高时，宽和高的积越大，体积越大，如果宽和高分别是原来的3倍、2倍，体积就是原来的6倍；当宽不变，只变化它的长和高时，长和高的积越大，体积越大，长和高分别是原来的3倍、4倍，体积就是原来的12倍；当高不变，只变化它长和宽时，长和宽的积越大，体积越大，长和宽分别是原来的2倍、4倍，体积就是原来的8倍。

最后，笔者引导学生深思：假如长方体的长、宽、高都确定时，它的体积还会变化吗？学生通过猜想、操作、分析和比较，发现长方体的体积是确定的，正好是长、宽、高三者的积，从而得出体积计算公式。

这样做易使学生清楚地发现数量之间的变化，学生也易学到一种简明的、常用的研究问题的方法――变量控制法，即先使两个量不变，变化一个量；再使一个量不变，变化另两个量；最后让三个量都不变，分别研究数量之间的关系。

其实，在“空间与图形”领域中，运用得较多的是转化。我们不但要有机渗透抽象的转化思想，还要适时揭示具体的转化方法，这样才便于问题的解决。学生即使遗忘了有关公式，也能凭借具体的操作方法重新发现规律。如在研究平面图形的面积时，常用倍比法、割补法，或依靠中位线进行等积变形等。其实，在这些方法中均运用了变量控制法。适时揭示这些操作方法，学生自主研究问题、解决问题的本领就会大大增强。