利用Copula理论检验英国市场间的相依结构
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摘要：Copula技术可以弥补传统相关技术在研究尾部特性的不足，可以很好地刻画金融市场间相依结构。本文利用常见的阿基米德函数建立了copula-Garch-t模型研究英国股市、债市与汇市之间的尾部相关特性。实证结果表明，股市与债市间存在着Frank型的尾部对称负相关，而债市与汇市间存在着Clayton型的下尾正相关，也存在Frank型的尾部对称负相关。
关键词：Copula理论 金融市场相关性 英国市场 相关程度 相关模式
随着金融市场持续地发展，金融子市场间、金融资产间的关系变得越来越复杂，并且呈现出一种非线性的、非对称的、和尾部相关的特性。传统的相关性研究已无法适应这样的复杂形式，而Copula则有着显著的优点。本文旨在利用Copula理论研究英国股市、债市和外汇市场间的尾部相关结构。Copula理论由Sklar在1959年提出的Sklar定理作为基础而发展起来的，Skar定理不关心变量的实际分布，通过理论证明了两个变量在值域的联合分布可通过一个Copula函数的转变完全由它们的概率积分函数在[0，1]区间的联合分布表示，所以Copula理论不关心变量的实际分布，只关心其边缘分布函数。Copula函数的性质独特，可将整个实平面的分布函数转化为区域的概率积分分布函数。Sklar定理则是Copula理论的精髓，它的证明完成了从实平面的分布函数向[0，1]区间的联合分布的转化，转变成为连接函数。
利用Copula理论建模有整体上分两步，第一步是建立可以刻画变量分布的边缘分布函数，第二步是建立合适的Copula函数完整地拟合出变量之间的相关关系。实事上，Nelsen（1999）通过研究边缘密度函数，提出了Nelsen定理，发现不同的联合分布函数可同时从不同的Copula函数和不同的边缘分布函数来构造。
学术上为单一时间序列的变量建立边缘分布的方法比较成熟，有AR、MA、ARMA、GARCH、波动模型等，通过对比学者在Copula实证应用中各个模型的效果发现，GARCH模型是应用于Copula理论描述边缘分布的最好方法，并在实证中得到了普遍应用。
在Copula函数的建立上，学者已有非常充分的研究，具体分为Copula函数的选取与建立、函数参数估计和模型拟合优度的检测。在函数选择方面，White（1982）提出在模型误设的情况下的极大似然估计法。Abegaz和Naik（2007）提出了二阶段参数极大似然比统计量的模型选择方法。在函数的建立方面，Nelson（1999）系统并详细也介绍了相关定理和Copula函数的性质，并给出了一些阿基米德Copula函数的表达示与性质。而在函数参数估计方面，Oakes（1994）和Shih（1995）对二元Copula函数提出了二阶段极大似然估计方法并建议了估计的一致性和近似正态性。Abegaz和Naik（2007）研究参数二阶段极大似然估计的近似性质。在拟合集成度方面，Klugman（1999）应用Q-Q图检验Copula函数模型合理性。Hu（2002）在研究欧美外汇和股票市场的相关关系时引入了检验统计量来评价Copula函数的拟合优度。
本文采用的数据是FTSE 100指数代表股市价格，FTSE UK Gilt指数代表债市价格，Bloomberg的GBP指数代表英镑对世界货币的币值变化情况。考虑到数据的可获得性和合适的时间长度，以使Copula结构不发生变化，数据选取从2005年9月到2012年12月。对所有数据进行连续时间回报率的差分，得到连续时间的日回报率。ADF检验表明差分后的时间序列平稳。
在本文中，分别应用了GARCH-normal， GARCH-t 和 GARCH-GED模型对原始时间序列进行估计，对三个变量的回归结果均表示GARCH-t最好地描述了变量的波动性，模型结果均通过了K-S检验和Q-Q检验，表明拟合结果很好她描述了变量的分布。GARCH-t模型的结果如下表：
假设变量间的相依结构是时不变的，则任意两变量间的条件相关关系可由一个时不变的copula函数刻画。在建立Copula模型中，利用二阶段估计法对参数进行估计，估计式子如下：，先估计分布函数，再估计整体的参数。
阿基米德函数可以很好地描述金融市场，包括Cumbel、Clayton、Frank函数和任意两者以上的加权组合函数，Gumbel函数主要描述变量的上尾（up tail）正相关，Clayton描述下尾（down tail）正相关，而Frank描述对称的尾部正负相关性（Nelsen，1999）。利用二元Copula函数对股市、债市和汇市变量的所有组合进行拟合估计，并根据Hu（2002）的检验方法对拟合优度进行检验，K值取20，实证结果如下表：
检验结果表明，多数参数估计结果显著，但只有三个模型通过了拟合优度检验。Clayton函数在债市-汇市的拟合优度在5%水平上显著，表现债市与汇市间存在下尾正相关，即当债市（或汇市）发生“黑天鹅”事件，导致价格大幅下跌时，汇市（或债市）会受到影响出现大幅下跌。Frank函数在股市-债市和债市-汇市的拟合优度检验在1%水平上显著，且函数参数均为负值，表明股市-债市和债市-汇市之间也存在着负相关的尾部对称关系。
从理论上解释，在经济进入衰退期时，企业业绩变差，股市将大幅下降，而政府往往通过低利率的货币政策刺激经济，表现出债市的大幅上升。另一方面，股市上差的业绩使投资者将资金转移至完全性更高的债券市场，两者的相关性表明在股市大跌时，往往会刺激投资者在当日将风险资产转移。在经济繁荣期时，企业业绩和政府宏观调控往往出现相反的调整，同样使股市与债市呈相反的运动。从经济周期的角度，股市与债市之间呈负相关关系，实证结果表明，该关系在尾部同样成立。Clayton函数的结果表明债市与汇市的强烈的下尾相关，服从的是短期中的利率平价理论，当本币利率上升，本国债券市场价格下跌，同时由于国际资本的套利效应，本币贬值。虽然反之本身利率下降，本币将升值，但实证结果表明利率下降时该理论的适用性并不明显。而Frank函数的结构同时表明债市与汇市之间同时存在对称的尾部正相关，从资本流动理论的角度出发，当本国利率相对外国上升时，国际资本注入本国将在短期内使本币升值，反之也成立。Frank的结果比Clayton更加显著，表明短期中，资本流动的效应在多数时间内起主要作用。
参考文献：
[1]Abegaz， F.， Naik-Nimbalkar， U. V. Modelling Statistical Dependence of Markov Chains via Copula Models. Journal of Statistical Planning and Inferece， 2007： 04.028
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[5]Oakes，D. Multivariate distributions. Journal of Nonparametric Statistics， 1994， 3： 343-354
[6]Patton， A. J. modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence. International Economic Review， 2006a， 47 （2）： 527-555
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