利用“切”入口,解决圆取值问题

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在数学学习与研究中，能够对所学的知识进行及时反思、总结，有助于学生更有效地学习，也能让课堂变得充实而又充满探究的氛围.在近几年的中考中，圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系的取值范围问题逐渐成为考查学生能力的热点题目.

本文抓住这一类问题进行探究，从其切入口入手，对此进行探究.

1.讨论直线与圆的位置时的取值范围问题

1.1圆走动.

例1.（2012・南京）如图1，已知半圆O的直径DE=12cm，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在ABC的左侧，OC=8cm.

（1）当t为何值时，ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠部分，则求重叠部分的面积.

思路点拨：本题着重考查当圆在移动时直线与圆的位置关系，我们只需抓住圆O与AC、AB相切两种切入口进行讨论，从而不难解决这个问题.情况1：如图2，圆O与AC相切时；情况2：如图3，圆O与AB相切时.

答案：（1）圆O与AC相切时，t=1s或7s；圆O与AB相切时，不难发现圆心O与C刚好重合，所以t=4s.

（2）圆O与AC在右边相切时，重叠部分面积为圆O与AB相切时，重叠部分面积为9π.

1.2线在转.

例2.（2012・株洲）如图4，在直角坐标系中，点O′的坐标为（-2，0），O′与x轴相交于原点O和点A，又B，C两点的坐标分别为（0，b），（1，0）.

（1）当b=3时，求经过B，C两点的直线的解析式；

（2）当B点在y轴上运动时，直线BC与O′有哪几种位置关系？并求每种位置关系时b的取值范围.

思路点拨：本题着重考查当直线在旋转时直线与圆的位置关系.我们只需抓住直线BC与O′相切时的特殊情况，就可以很简单地得出各种位置关系的取值范围.如图5，连接O′B，可得O′BC∽MOC，从而不难得出OM即b的值.但在解题时，特别要注意相切时的两种情况，不难得出另一个b的值.

答案：（1）y=-3x+3.

（2）时，直线BC与O′相切；当时，直线BC与O′相离；当时，直线BC与O′相交.

2.讨论圆与圆的位置关系时的取值范围问题

2.1一个圆不动，另一个圆移动.

例3.（2012・聊城）如图6，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围是？摇 ？摇.

思路点拨：要确定两圆内含的取值范围，只要先确定两圆内切这特殊情况的取值即可，不难得出当a=2或-2时，两圆内切.

答案：-2

2.2一个圆移动，另一个圆也动.

例4.（2012・南京）如图8，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm，点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t（s），

（1）t为何值时，四边形APQD是平行四边形？

（2）如图9，如果P和Q的半径都是2cm，那么，t为何值时，P和Q外切？

思路点拨：发现等腰梯形的高为，即两圆应该有两种情况外切，如图10.我们对这两种情况进行讨论.第一种外切时是四边形APQD是平行四边形时；第二种外切时是四边形BCQP是平行四边形时，因此，我们只要解决什么时候四边形APQD、BCQP会是平行四边形.

答案：（1）要使四边形APQD是平行四边形，须有AP=DQ，则可得t=2；

（2）t=2或t=3.

2.3一个圆移动，另一个圆化大.

例5.（2012・蒲州）如图11，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，A，B的半径均为1厘米.A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）.

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

答案：（1）d=11-2t（0≤t≤5.5）或d=2t-11（t>5.5）；

（2）此类题目主要涉及圆的位置关系知识，要求将画图和知识点相结合，明确相切时的特殊情况，此类问题就迎刃而解.纵观这样的理解，可以把学生在数学中难懂的知识点直观地展示在学生面前，并在解题中灵活运用，能使数学的教与学变得形象生动，有利于激发学生的学习兴趣，提高学习效率，培养学生的数学思维，进而提高学生的数学素养.