等腰三角形中的五类问题

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等腰三角形是初中数学的重要内容之一,中考试卷中经常出现许多设计巧妙、形式多样、颇富新意的关于等腰三角形的题目.现结合2009年各地的中考试题进行分析,希望能给同学们带来一定的启示与帮助.

一、动态探究

例1 (湖北襄樊)如图1,在ABC中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D为BC边的中点,动点P从B点出发,以每秒1 cm的速度沿BAC运动.设运动时间为t,那么当t=_____秒时,过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分,并且其中一部分是另一部分的2倍.

解析:本题涉及等腰三角形中的动点问题,要分两种情况进行分类讨论.①当点P在BA边上时,BP=t,AP=12-t,则有2(t+3)=12-t+12+3,解得t=7;②当点P在AC边上时, PC=24-t,则有t+3=2(24-t+3),解得t=17,故填7或17.

点评:解决等腰三角形中动态问题的关键是树立联系、发展的动态观点,整体把握命题的条件,抓住在运动变化过程中暂时静止的某一瞬间,动中求静,变中求不变,用相关的代数式表示出变量之间的内在联系,从而使问题得到解决.

二、图景生成

例2(浙江绍兴)如图2,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°,那么P点在大量角器上对应的度数为______(只需写出 0°～90°的角度).

解析:点P在小量角器上对应的度数为65°,即重合部分小量角器的圆心角∠ABP的度数为65°.又因为此时ABP为等腰三角形,AB=AP,所以∠ABP=∠APB=65°. 再根据三角形的内角和为180°,可得∠BAP=50°,从而得出P点在大量角器上对应的度数为50°.

点评:此题将等腰三角形、圆心角、圆周角的知识巧妙地融合在了一起,能很好地考查同学们对这些知识的掌握情况.

三、分类讨论

例3(重庆綦江)如图3,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是( ).

点评:当研究对象不明确时,常需要对研究对象的各元素或各元素之间关系的各种可能进行分类讨论,得到相应的结果.在进行分类时应做到标准相同,不重不漏.

四、阅读理解

例4 (福建龙岩)阅读下列材料:

在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形.

点评:网格背景题能充分调动有关背景中的正方形、直角三角形、勾股定理等知识. 同学们可以运用勾股定理和数形结合思想,通过观察思考、动手操作、自主探索等过程,找到解决问题的途径.

五、图案设计

例5(黑龙江牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m和8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以原直角三角形8m的边为直角边的直角三角形,求扩充后的等腰三角形绿地的周长.

分析:当知道等腰三角形的边,但不清楚该边是腰还是底时,就有必要进行分类讨论. 如图7～图9,AB可能为腰,也可能为底,其中AB为腰时,又分为以点A为顶点和以点B为顶点两种情况.

解:在RtABC中,∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m. 把RtABC扩充成等腰ABD,应分为以下三种情况.

点评:等腰三角形图形的设计一般不是惟一的,应采用分类讨论的思想进行思考与设计,即AB可能为腰,也可能为底.分类讨论的数学思想经常出现在各类考试中,它能有效地考查同学们分析问题和解决问题的能力,具有较好的区分度.