RMI原理在中学数学中的应用

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化归法是一种重要的数学研究和解题的方法.化归就是转移，是把需要解决的比较困难的数学问题转化归结为一个或几个比较容易解决的新问题或者已经解决的问题，从而达到求解原问题的目的.用思维结构框如图所示：

化归法的目的是化繁为简，化难为易，化未知为已知.化归法的途径和手段不固定，没有固有的模式，需要具体问题具体分析，但在中学数学中，化归法经常是通过恒等变形或者关系映射反演等原理得以实现.

关系映射反演原理即：关系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion)原理,简称rmi原理.RMI原理的提出有着坚实的哲学依据，即：世界是一个普遍联系的有机整体，世界上事物的联系具有普遍性.反映世界的不同量化模式(即关系结构) 相互之间也具有联系性，映射就是联系不同量化模式的基本纽带.RMI原理是一个十分重要的数学方法和思想，是化归原则在数学领域中的具体化与形式化，具有联系各个数学分支体系、解决数学问题的功能.由于RMI原理反映了数学方法的特殊性，因此，在数学方法论的发展史上，它也是一个真正具有数学特色的数学方法.

数学中的关系结构是指彼此之间具有某种或某些数学关系(如代数关系、函数关系、序关系等等)的数学对象的集合.RMI原理在数学中的应用可以这样描述：对于给定的一个含有目标原象x的原象关系结构系统T，当在 T中不容易或者不能够直接确定x时，如果能找到一个可定映映射f：TT*，将T映入映象关系结构系统T*；在T*中通过一定的数学方法去确定目标映象x*=f(x)，然后再通过反演，即相应的逆映射f -1，就可以确定目标原象.通过以下步骤“关系——映射——定映——反演——获解”的数学解题方法称之为RMI原理，其思维框图如下图所示：

运用RMI原理关键是寻求适当的映射与反演.RMI原理在数学领域有着极为广泛的应用，同时派生出许多具体的数学方法，是较高层次的化归.应用RMI原理解决中学数学问题常见的情形有以下几种.

一、方程结构和函数结构

函数和方程在中学数学研究中是密不可分的，函数y=f(x)可以等价地看做是方程f(x)-y=0，当方程f(x，y)=0对于非空数集A中任意一个x0而言，都有唯一确定的一组解

x=x0，y=y0时，它就可以看做是y关于x的一个函数.根据方程和函数之间这一互化的关系，我们可以分别在方程结构和函数结构之间运用RMI原理来解决很多函数与方程的问题.

1.方程结构映射成函数结构

【例1】 已知方程sin2x+cosx+a=0有实数解，求实数a的取值范围.

2.函数结构映射成方程结构

二、代数结构和三角结构

在中学数学中，以初等函数为映射工具，利用RMI原理，我们可以将一些代数、三角问题分别映射到代数关系结构和三角关系结构当中去，然后再反演回到原结构中来，从而达到求解原问题的目的.

【例3】 已知x是正实数，试证明：(x+1-x)?x＜12 .

三、代数结构和几何结构

我们经常说，用代数的方法去解决几何问题或者用几何的方法来解决代数问题.这实际上是一种利用代数的量与几何的形的关系来解决问题的一种方法，这种方法本身就是关系——映射——反演(RMI)的一种应用.在中学数学中，有许多代数问题可以通过坐标系寻求映射工具映射到几何关系结构中去，然后再反演到原来的代数结构中来，从而解决原来的代数问题.而几何问题也一样可以映射到代数关系结构中去，然后再反演到原来的几何结构中来，从而解决原来的几何问题.

例如，在笛卡儿平面上用有序实数对(x，y)来表示点，它使一个有序实数对(x,y)与几何中的点构成了一一对应关系.坐标系里点的坐标按某种规则连续变化,那么,平面上的曲线就可以用方程来表示.比如，我们用关于x，y的一次方程来表示直线，用关于x，y的二次方程来表示圆锥曲线.这样作为原象的几何图形便和作为映象的(x，y)及含x，y的方程式建立起对应，这种对应关系是一种映射关系.通常情况下，一个几何问题在本质上就是某些特定的几何图形之间的关系问题，这种几何图形之间的关系问题在上述映射关系的对应下便可转化为代数式的关系问题.要解决图形之间的关系问题，只须解决代数式的关系问题即可.

1.几何结构映射成代数结构

【例4】 已知一个半圆的直径AB =2R，直线l与AB的反向延长线垂直相交于点T，AT=2a(a

求证：AM+AN=AB.

分析：如果用平面几何的知识来解决这个问题会比较麻烦.要是以AT的中点为坐标原点，射线OB为x轴的正方向建立直角坐标系，这个半圆就可以与方程［x-(a+R)］2+y2=R2建立起对应关系，由MP=MA，NQ=NA知M、N是以A点为焦点，l为准线的抛物线上的点，则可将抛物线与方程y2=4ax建立起对应关系.设半圆与抛物线的交点M(x1, y1)、N(x2, y2)，则要证的结论AM+AN=AB化为∣AM∣+∣AN∣=2a+x1+x2=2R的问题，联立半圆和抛物线的方程即可得解.

从解题的过程看是解题的关键在于如何通过建立直角坐标系将几何的形与代数的量建立起映射关系，然后利用代数的量解决问题.

2.代数结构映射成几何结构

【例5】 求函数u=x2+9+x2-10x+29的最小值.

分析：建立直角坐标系，设点A(0，-3)、B(5，2)、P(x，0)，则原来的代数问题就转化为在x轴上找一点，使得它到A、B两点的距离之和最小的几何问题.

这个例题说明，寻求某些代数问题的几何意义，然后利用几何图形的直观性或者相关的定理和知识来解决这些代数问题，这种通过构造几何图形来解决代数的问题的方法也是对RMI原理的一种应用.