揭示公式本质,发展学生思维能力

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【教材分析】

本节课是苏教版《数学》必修5第三章第四节“基本不等式”第一课时的内容。《普通高中数学课程标准》（实验）对基本不等式：≤（a，b≥0）的要求：一是探索并了解基本不等式的证明过程，二是会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。基本不等式与必修1函数的最值、值域有非常密切的联系，同时也是不等式证明非常有用的工具之一。因此，本课时内容是本章乃至高中数学的重要基础内容之一。

【学情分析】

学生已经系统地学习了不等关系和一元二次不等式、一元高次不等式解法等内容，对不等式的性质有了一定的了解。在此基础上进一步学习基本不等式，为后续基本不等式应用的学习奠定基础。

【教学目标】

1.探索并了解基本不等式≤（a，b≥0）。通过基本不等式的多种不同表征形式，揭示公式本质。

2.通过基本不等式的证明过程，了解演绎证明的三种常用方法，即比较法、分析法、综合法，并能运用三种方法证明简单的数学命题。

3.在得出基本不等式≤（a，b≥0）结论的过程中，体会数学建模的思想，感受数学形式化结论的一般形成过程――实验、观察、猜想、归纳、抽象、概括，形成结论，体会数学的理性思维价值，发展学生的数学思维能力。

【教学重难点分析】

重点：从不同角度探索基本不等式的证明过程。

难点：一是基本不等式的几何表征。针对这个难点，教学中通过多媒体辅助手段，从学生已有知识出发，构造出算术平均数和几何平均数的几何意义。二是基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）。针对这个难点，教学中通过举反例的方法，让学生体会到三个条件缺一不可的重要性。

【教法分析】

本节课采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法，以问题为主线，学生经历观察―感知―抽象―归纳―探究，从实际问题出发，放手让学生探究思考。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，帮助学生理解基本不等式。

【教学过程及设计意图】

一、创设情境，提出问题

【通过创设数学与生活联系的情景，让学生感悟到：数学源于生活，源于实际，使学生意识到学习“基本不等式”的必要性――因为生活中有大量类似的情景存在，我们就要研究它，它应该成为数学的一个重要研究对象。数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。本节课的明线是“基本不等式”的教学，暗线“面对一个新的数学对象，应该如何入手和展开研究”也必须贯穿本节课的始终。基于此，设置情境。】

问题情境：将一个物体放在天平的一个盘子上，而在另一盘子上放一砝码使天平平衡，称得物体重量为a。

问题1 若天平制造不精确，天平的二臂略有不同（其它因素忽略不计），则物体的重量仍是a吗？

经过学生交流讨论后，不难根据力学原理，得出物体的真实重量为G=a ①（l1为放有物体一侧的天平臂长，l2为另一臂长）。

问题2 考虑到实际中精确测定二臂长不太可能，因此，a并非物体的实际重量，为此可作出第二次测量，即把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体重量为b。为了合理表示物体重量，我们可把两次称得的物体重量“平均”一下，即以表示物体的重量，这样做合理吗？

让学生议论，明确用表示物体重量的不合理性，再让学生利用力学原理，得出G=b ②

问题3 由①②能得出物体的真实重量吗？

学生观察①②后，得出物体真实重量的表达式为G=。

教师指出：也是正数a，b的一种平均方式。 称为两个正数a，b的算术平均数，称为两个正数a，b的几何平均数。

问题4：你知道上面估计物体重量为是偏大，还是偏小，还是都有可能呢？

教师指出：对于两个正数a，b，它们的算术平均数和几何平均数的大小关系如何，这便是我们这节课要研究的问题。

二、探究引导，发现新知

教师引导学生提出：能否取一些数做一些试验呢？

【学生参与实验，有利于猜想、发现结论，培养学生的猜想能力。】

多媒体展示：

根据试验结果，学生不难猜想得出结论：≥，当且仅当a=b时等号成立。

三、抽象归纳，建构新知

问题5 我们能否把刚才的猜想用严密的数学语言来阐述呢？

【提高学生的数学表达能力。】

展示定理内容：如果a，b都是正数，那么≤，当且仅当a=b时，等号成立。

数学是严谨的，由于猜想的结论可真可假，因此猜想的结论必须进行严格的证明，才能得出结论为真。

问题6 怎样证明该不等式呢？

注：该处个人觉得课本要求太高，证明方法是选修2-1内容，尤其是分析法，之前学生没有任何接触，应该降低对证明的要求。

【引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华；培养学生严谨的思维习惯，让学生感悟数学的理性精神。】

学生经过讨论，不难得出书上的证法1（或者书上的证法3）。

方法一：作差比较或由（-）2≥0展开证明。

教师视情况补充以下证法：

方法二：分析法

【降低门槛，介绍新的证明方法。】

要证≥① 只要证a+b≥0②

要证②，只要证 ③

要证③，只要证（ - ）2≥0④

显然，④是成立的。当且仅当a=b时，④中的等号成立。

教师点评：这种证明方法叫做分析法，实际上是寻找结论的充分条件，是执果索因的一种思维方法。

问题7 你能用文字语言将基本不等式表达出来吗？

【发展学生的多元表征能力。】

文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

或者联想数列的知识叙述为：

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

问题8 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即a=b？圯=；

仅当a=b时，取等号，即=？圯a=b。

几何表征：既然称为几何平均数，那么它的几何意义是什么？的几何意义又是什么？

（多媒体展示处于动态下的图）：在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直且在运动的弦，CD与AB的交点为E，设AE=a，BE=b。

问题9 在图中能否找到我们今天所学的不等式呢？

由平几知识，得CE=DE，CE2=AE・BE，所以CE=，又圆的半径CO=，即得CE≤CO，即≤。当且仅当E与0重合，即a=b时取等号。

揭示公式的本质（多媒体展示图）：此图既优美，又简朴；既精炼，又深邃。原来这是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽著名的弦图设计而成的。中间看上去像一个风车叶轮的图案，象征着中国人民的热情好客。其中隐含的奥秘多得很，今天研究的只是“冰山一角”。

设每个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，那么正方形ABCD的边长为，面积为a2+b2。4个直角三角形的面积之和为2ab。正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积之和，则有2ab≤a2+b2。当且仅当a=b时取等号。

问题10 不等式2ab≤a2+b2与我们今天的不等式≤看起来相似，你能看出它们的区别与联系吗？

学生（经过一番探讨）：式子2ab≤a2+b2等价于（a-b）2≥0，式子≤等价于（-）2≥0，从这个意义上看，两式的道理完全相同。但式子2ab≤a2+b2成立的条件是a，b∈R，而式子≤成立的条件是（0，+∞），两式取等号的条件又都是a=b。

另外，今天所学的不等式可以看成当a>0，b>0时，在不等式a2+b2≥2ab中，以、分别代替a、b得到的。

到此为止，可以得出“基本不等式”的本质（逻辑起点）是实数平方的非负性。再进一步，可以把a、b的取值范围推广到非负数。

四、应用举例，巩固新知

上面的问题给了我们启示：

问题11 能否把≤变成不同的形式？

【通过基本不等式的变形，既加深了对基本不等式的本质特征的认识理解，又为不等式的应用奠定了基础，同时也培养了学生学会运用变化的观点看待事物的能力。】

让学生讨论、交流，至少能得出以下变式：

①a+b≥2（a，b∈R+）

②≤（）2（a，b∈R+）

③≥2（a，b∈R+）

④+≥2（a，b∈R+）

⑤+≥2（a，b同号）

⑥a+≥2（a∈R+）

问题12 我们再观察下列命题，是否正确呢？

①对于任意实数a，b，均有a+b≥2；②当x≥0时，由于1+x2≥2x，当且仅当1=x2时，即x=1时，等号成立。所以函数y=1+x2（x≥0）的最小值为2；③当x∈（0，）时，有sinx+≥4；所以函数y=sinx+在（0，）的最小值为4。

结论：若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。简记为：“一正、二定、三相等。”

五、反思总结，内化新知

通过本节课的学习你有什么收获？

【通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平。】

教师根据情况完善如下：

一个不等式：若a≥0，b≥0，

则有≤，当且仅当a=b时，=。

三个注意：基本不等式求函数的最大（小）值时注意“一正二定三相等”。

【教学反思】

本课教学依据学生、教材实际，遵循教学设计问题化，教学过程活动化。采取“问题引入，揭示主题；观察特例，形成猜想；多法证明，感受严谨；多元表征，加深理解”的教学思路，在充分考虑到学科知识的科学性、系统性的前提下，对教材进行适当调整重组，并通过“创设情境、提出问题―探究引导、发现新知―抽象归纳、建构新知―应用举例、巩固新知―反思总结、内化新知”五个活动展示教学流程。以学生学习活动为中心，不断进行深度尝试探究。变式练习由易到难，循序渐进，让思维在问题解决中得到发展，使学生在探索问题的过程中，亲历数学对象的形成过程，感受数学求真求美的思维方式。

江苏省中小学教学研究室李善良教授曾经用一句话概括数学教学的核心：“揭示数学本质，发展思维能力。”笔者不仅深表赞同，更愿意用每一节课去努力实践。

（作者单位：江苏省清江中学）