列一元一次方程解应用题中的思想方法

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众所周知，数学思想是解题的灵魂，列一元一次方程解应用题也不例外，在列一元一次方程解应用题的过程中也蕴含着许多数学思想，如果能灵活运用，往往能更好地列出一元一次方程去轻松解答应用题. 现就列一元一次方程解应用题中常见的思想方法举例说明.

一、 设k法

利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.

例1 一个三角形三条边长的比是2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长.

【分析】要求三角形的周长，若知道三边即可，由于三角形三条边长的比是2∶4∶5，可设这三条边长分别为2k、4k、5k，这样根据最长的边比最短的边长6厘米，即可列出方程求解.

解：因为三角形三条边长的比是2∶4∶5，所以设这三条边长分别为2k、4k、5k，则根据题意，得5k-2k=6. 解得k=2.

所以三角形的周长为2k+4k+5k=22厘米.

答：这个三角形的周长为22厘米.

二、 数形结合思想

数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把数与形结合起来解决问题的思想方法.

例2 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成. 设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为_______.

【分析】通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，顺时针方向上的正方形边长依次增加1.

解：设右下角两个边长相等的正方形边长为x，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为x+1、x+2、x+3. 根据矩形的对边相等，可得x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3），解得x=4.

所以（x+2）+（x+3）=13，（x+2）+（x+1）=11，即13×11=143.

答：矩形的面积为143平方单位.

三、 整体思想

在研究应用问题时，若能将所要思考的问题看成一个整体，通盘考虑，则既便于列方程，又便于解方程.

例3 一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.

【分析】本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程. 如果从整体思考，视后五位数为一个整体，则方便简捷.

解：设原六位数为100 000+x，则根据题意，得10x+1=3（100 000+x），

解得x=42 857.

答：原六位数为142 857.

四、 分类思想

数学的思维是严密的，所以求解许多数学应用题时，为保证答案全面、完整，需要分情况解决，这有利于培养思维的缜密性.

例4 在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行. 已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？

【分析】因为C地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论.

解：设乙船由B地航行到C地用了x个小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了（4-x）小时. 下面分两种情况：

1. 若C地在A、B两地之间，则根据题意，得（4-x）（7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10.

解得x=2. 这时10×2=20（千米）.

2. 若C地在A地的上游，则根据题意，得x（7.5-2.5）-（4-x）（7.5+2.5）=10.

解得x=■. 这时10×■ = ■（千米）.

答：乙船从B地到达C地时，甲船离B地有20千米或■千米.

五、 逆向思维

数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算就显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法. 逆推法是解决数学问题的一种重要方法. 有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难，而用逆推法就十分简便.

例5 李飒的妈妈买了几瓶饮料. 第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝了. 这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则李飒的妈妈买的饮料一共有多少瓶？

【分析】如果设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了■+■瓶，第二天喝了■x-■-■？摇+■瓶，第三天……这种做法很繁. 若能依据题意，反过来考虑，问题或许就简单多了.

解：设第三天李飒喝饮料之前，还有x瓶饮料，则x-■+■=0，即■-■=0. 解得x=1. 这也是第二天喝饮料之后所剩的饮料瓶数.

设第二天喝饮料之前，还有y瓶饮料，则■-■=1. 解得y=3. 这也是第一天李飒全家喝饮料之后所剩的饮料瓶数.

再设李飒全家喝饮料之前，还有z瓶饮料，则■-■=3.

解得z=7. 这就是李飒全家喝饮料之前妈妈买的饮料瓶数.

答：李飒的妈妈买的饮料一共有7瓶.

下面一道题目供同学们自己练习：

甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A、B两地间的距离.

参考答案

【分析】用常规方法解决本题具有一定难度，若把两个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解.

解：第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6千米；第二次相遇，甲、乙两人合走了三个全程，故乙共走了18千米.设A、B两地间的距离为x千米，第二次相遇时乙走了（x+8）千米，所以x+8=18，x=10.

答：A、B两地间距离为10千米.