何妨这样看?

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如果我们换一种思考方式，变换一下思维视角，从顶点坐标来看抛物线与x轴交点情况，真的让人感到新颖、别致、妙趣横生而意味深长。下面，请同学们来共同领略新视角的精妙所在，事实上，设二次函数一般式为：

y=ax2＋bx＋c（a≠0）将其一般式的化为顶点式为：y=a（x＋）2＋。

由顶点式可知抛物顶点坐标为：（－，）。因为a＞0或a＜0。故抛物线开口方向只有向上或向下两种情况。

（1）若抛物线与x轴只有一个公共点即唯一个交点。则意味着抛物线顶点必在x轴上，无论抛物线开口向上或向下，则其顶点坐标（－ ，）

在x轴上，因为横轴上的点的纵坐标为0。

所以必有 =0，于是4ac-b2=0 即b2－4ac=0

反之，当b2－4ac=0时，则=0即顶点坐标的纵坐标=0而一个点的纵坐标为0，则此点必在x轴上。这说明b2－4ac=0时，抛物线顶点在x轴上。

总之，b2－4ac=0〈 〉抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴只有唯一一个交点。

（2）若抛物线与x轴有两个交点，则可以分两种情况来考虑：

（）a＞0时，即开口向上抛物线与x轴有两个交点时，如图示，直观地可以看出顶点应在x轴下方，此时顶点坐标为（－ ，），

其中的纵坐标显然应为负值。

即＜0，因为a＞0，则4ac-b2＜0 即b2－4ac＞0

综上所述，a＞0，当抛物线与x轴有两个交点时，则b2－4ac＞0

反之也成立，这可由同学们自己去思考。

（）a＜0时，若抛物线与x轴有两个交点，如图所示：

开口向下的抛物线其顶点在x轴上方，顶点坐标（－ ，）中的纵坐标 应为正值。即＞0，由于此时a＜0，则b2－4ac＜0 ，即b2－4ac＞0反之，结论同样成立。

总之，结合（）、（）可得：

b2－4ac＞0〈 〉抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个不同交点。

（3）若抛物线与x轴没有交点，也分两种情况来考虑。

（）若a＞0如图所示，因抛物线与x轴无交点故顶点在x轴上方。顶点的纵坐标 ＞0 ，又a＞0则4ac－b2＞0，即b2－4ac＜0，反之也成立

（）若a＜0抛物线y=ax2＋bx＋c开口向下，如图所示，

由于抛物线与x轴没有交点，所以顶点在x轴下方，故顶点纵坐标为负值，即

＜0，

但a＜0，故4ac－b2＞0 ，所以b2－4ac＜0，

反之也成立。

综合（）、（）可在，b2－4ac＜0〈 〉抛物线y=ax2＋bx＋c （a≠0）与x轴没有交点。

总之：概括上述所讨论的（1）、（2）、（3）可以归纳出抛物线y=ax2＋bx＋c （a≠0）与x轴交点情况：

（A）b2－4ac=0〈 〉抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有唯一一个公共点。

（B）b2－4ac＞0〈 〉抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点。

（C）b2－4ac＜0〈 〉抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴没有公共点。

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