交换律教学片断及思考
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摘 要：《义务教育数学课程标准（2011版）》中明确指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。而先猜想再通过举例进行验证，从而探究出规律或结论的方法在我们的教学中经常使用。可很多时候，可能由于教师对教材和学生的认识不足，往往造成学生探究过程中体验的粗糙和认识的肤浅。本文从笔者执教《交换律》一课的亲身经历，从增加探究材料的数量、使探究行为走上正规、提高探究的层次和扩大探究的领域四个方面对举例验证过程中的“智慧”进行了探讨。
关键词：猜想；验证；智慧
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）24-066-02
本课是人教版四年级下册第三单元“运算定律与简便计算”中加法交换律与乘法交换律的内容。在尊重教材的基础上，根据学生实际对教材内容进行了有目的的选择、补充和调整。把“加法交换律”作为一个触点，进而形成猜想“减法中是否也会有交换律？”“乘法、除法中呢？”使原有触点诞生出一个个新的生长点，把他们整合在一起作为“交换律”来系统研究；研究过程中运用“大胆猜想－举例验证—归纳总结”的方法感知并掌握加法、乘法的交换律。让学生经历模型的概括、迁移和应用的过程，让学生感受数学学习的乐趣，从而有效地培养学生研究问题的能力和一定的数学思想。
师：首先请大家看一幅图（课本27页的主题图），你能找到什么数学信息和数学问题？谁会列式解答？还可以怎样列式？ 仔细观察这两个加法算式，你觉得这两道算式之间可以用什么符号连接？
学生根据问题得出40+56=56+40。
师：观察这一等式，你有什么发现？
生：两个加数交换位置，和不变。
师：老师和他的发现很相似，但略有不同。（课件出示：40和56交换位置，和不变。）比较我们俩的结论，你们有没有什么想说的？
生：老师说的是40和56交换位置，和不变；那个同学说的是两个加数交换位置，和不变。
师：你们觉得就用一个这样的例子得出“两个加数交换位置，和不变”这样的结论够不够？那我们不妨把这一结论当作一个猜想，既然是猜想那我们还得多举一些这样的例子来验证一下这个结论到底对不对。
思考：
智慧之一：增加探究材料的数量
在实际的教学中，往往听到教师在举了一两个例子后就揭示或让学生概括出规律，其实这样得出的规律是不可信也是欠火候的，这样的教学也似乎有点薄，显得不那么厚重，最后真正留给学生的东西不多。所以为了让学生对将要得出的规律深信不疑，在此特意通过一个例子得出和学生不同的结论，引导学生引发猜想，进而用“举例”这一不完全归纳法进行验证，让学生提供更多的材料，当学生能在下面环节中提供足够的有结构的材料后再让学生自己去概括，最终得出我们所需要的结论。
教学片断二：举例验证、引导方法
师：谁先来说说，你打算怎样去找这样的例子？
生：先写两个数字相加，然后交换它们的位置，看看和是不是跟原来一样。
师：说得真清楚，前段时间我给另一班同学上这节课的时候，他们在举例的过程中出现了这样两种情况，老师给大家展示一下。（课件出示）
师：比较两种举例的情况，你想说些什么？
生：第一种不仅交换了两个加数的位置，而且还算出了他们的和。第二种没算出结果就直接写等号了。
师：那你们觉得哪种方法更科学呢？
生：第一种。
师：下面请大家用正确的方法举例，看谁举的例子又多又快。
思考：
智慧之二：使探究行为走上正规
学生因为年龄小，有时会分不清发现规律和运用规律的区别，所以常常会发生探究行为的颠倒，违背了教学的意图。所以在学生举例之前，先给出两种不同的情况进行分析，让学生明确探究方法：不能举出例子直接画等号，而是要通过计算验证后才知道是不是相等的。当学生有了更为科学的举例方法后学生的探究行为才能走上正规。
教学片断三：汇报交流、得出结论
师：你举了哪些例子？谁能大声的和同学们交流一下。他一共举了几个？
点一学生汇报。
师：接下来我们再来看下这两个同学的例子。（出示简单和稍复杂的例子）你觉得老师可能更欣赏谁，为什么？
师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，你又有什么想说的吗？（出示举了含小数、分数的例子）
师：看来举例验证猜想还有不少的学问。像刚才这几位同学，也举出例子的请举手。有这么多个例子了，举的例子中两个加数交换位置后和没变的请举手。那有没有同学发现了反面的例子，也就是说两个加数交换位置后和变了？现在，有了这么多的例子，能得出“两个加数交换位置，和不变。”这个结论了吗？那这个问号也就可以改成（句号）了。
师：现在这个结论已经成立了，如果再让你们继续举例子，你们觉得这样的例子举得完还是举不完？举不完，现在你想一个办法，这些等式我用一种方式来表示。什么方式有这样的特点？同桌小朋友先商量一下看，用什么办法来表示？学生汇报：找出用字母、文字、符号等不同表示方法的同学来汇报。引出加法交换律的字母表示方法。
思考：
智慧之三：提高探究的层次
在学生举例之后进行反馈时，采取了三个步骤以提高探究的层次：一是找个别学生进行汇报；二是用写了简单和复杂等式的学生材料进行对比，得出举的例子不仅可以是一位数还可以是不同位数的数；三是进一步增加学生比较的材料，了解举的例子不仅适用于整数，还能适用于小数、分数甚至还没有学过的数。在教师指导学生通过找这样的正例以获得更多的支持材料下，还指导学生寻找是否存在反例，然后再由学生概括出规律，这样才提高了探究的层次，才真正符合规律教学的教学规律。
教学片断四：再次猜想、举例验证
师：通过刚才的学习，我的感受是：数学上的一个结论有的时候说容易也容易，但是要真正得出来，有的时候要付出很多的思考是不是？正因为来之不易，所以有的同学不会轻易的放过它，他一定会进一步展开联想，比如：既然在加法中有加法交换律。那么在…说说怎么了？还有，你说。瞧瞧，果然是不同凡响。从加法想到了…想到了…想到了…。这些都还只是你们的猜想，要知道这些猜想正不正确，我们就还得…。
学生举例验证后在分析交流中得出“交换两个因数的位置，积不变。”引出乘法交换律的字母公式。
在汇报另两个研究结果时得出数学研究的特点，要说明一个结论成立，我们得举很多例子，但要说明一个结论不成立只要一个例子就可以。
师：希望大家这节课后能够继续研究下去，比如：两个数相加或相乘有交换律，那么三个、四个甚至更多个数相加或相乘还有没有这样的规律呢？请大家回去以后再进行进一步的研究。
思考：
智慧之四：扩大探究的领域
教师应该善于在知识层次上作进一步的挖掘，在浅层的知识背后挖掘出更深层的价值内涵，让学生的探究领域得以扩大。如：在知识的结构上，打破教材的原有体系，引导学生得出加法交换律之后，把乘法交换律作为加法交换律在“加法”这一关键词上的拓展，进而联想“在减法、乘法和除法中有没有交换律”这一教材中没有的问题，顺势组织学生进行迁移探究。并借此教给学生又一种新的科学探究方法，即从原有的结论出发，用联想的方式，产生新的猜想，进而验证得出更新的结论。同时在探究的过程中还使学生懂得验证一个猜想是否正确，必须考虑到方方面面，要尽可能举例，举大量的例子，并证明所有举例都是正确的才行。相反，如果要证明一个猜想不成立，只要能举出一个反例就行。在课的最后，引导学生继续探究三个、四个甚至更多个数相加或相乘还有没有这样的规律。既让学生们带着问题出课堂，又再一次扩大了探究的领域。
记得“数学王子”张齐华老师说：数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人的思考方式、方法、视角。数学学习一旦使学生感受到了思维的乐趣，使学生领悟了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必暴露无遗。也只有这样，我们的数学课才会显得大气磅礴、厚重而深远。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部 《义务教育数学课程标准（2011版）》[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 燕子，杨晓红 《小学教学》[M]．河南：河南教育报刊社，2012 03.
[3] 张齐华 《审视课堂：张齐华与小学数学文化》[S].北京：北京师范大学出版社，2010 06.