泰勒公式的应用

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摘 要： 泰勒公式在数学中有众多应用.本文论述了泰勒公式在近似计算、求解函数的极限等方面的应用.

关键词： 泰勒公式 近似计算 极限

1.泰勒公式

定理1：设函数f（x）在点x■的某个邻域内具有直到阶n+1的导数，则对该邻域内异于x■的任意点x有f（x）=f（x■）+f′（x■）（x-x■）+■（x-x■）■+…+■（x-x■）■+R■（x）

其中R■（x）=■（x-x■）■（ξ介于x与x■之间）时，称为带拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，其中（R■（x）=o（x-x■）■）时，称为带皮亚诺（Peano）余项的n阶泰勒公式.

2.泰勒公式在近似计算中的应用

用泰勒公式进行近似计算的实质是按照精度要求忽略掉小于精度的误差.

例1：计算ln1.2的值，使误差不超过0.0001.

解：令f（x）=ln（1+x），由f′（x）=■，…，f■（x）=（-1）■（n-1）！■得：

f（0）=0，f′（0）=1，…，f■（0）=（-1）■（n-1）！，f■（ξ）=（-1）■n！■

于是f（x）=ln（1+x）在原点的泰勒展开式为：

ln（1+x）=x-■+■+…+（-1）■■+■（ξ介于0与x之间）.

所以ln（1.2）=0.2-■+■+…+（-1）■■+■（ξ介于0与0.2之间）.

且|R■（0.2）|=■

因此ln1.2≈0.2-0.02+0.00267-0.00040+0.00006=0.1823

3.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小，尤其是■型极限的求解，此时只需把分子、分母展开到同阶的无穷小即可.

例2：求极限■■

解：■■=■■=■■=-■

例3：求极限■[x-x■ln（1+■）]

解：■[x-x■ln（1+■）]=■[x-x■（■-■■+o（■））]=■

在解决有些问题时将泰勒公式与我们已熟知的等价无穷小方法相结合，可将问题进一步简化.

例4：求极限■■

解：■■=■■=■■=■（■+■）=■

通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限简洁、方便，从而准确、高效地解决一些数学问题.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001.139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大学数学系.数学分析习题全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.