函数方程型设计题剖析

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考试题中的方案设计型习题是以生活事例为研究材 料，以培养和提高数学建模能力为目标，它突出了中考复习的研究性和开放性。设计方案型应用题是考查学生的创新意识和创造性思维能力的一种题型，这类问题通常要建立数据比较模型，对给定的方案做出选择或判断，常利用下列知识加以解决：

（1）求不等式的正整数解；

（2）求不等式组的正整数解。

在这过程中要注意在分情况讨论的过程中不要丢解，弄清在什么情况下取得最值。

例1.（07茂名市）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶。

（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时。求甲、乙两车的速度；

（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？

解：（1）设甲，乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时，

根据题意得：x=2yx・1+y・1=90×2

解之得： x=120y=60

即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时。

（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米，乙汽车行驶了y千米，则x+y≤200×10×2x-y≤200×10

2x≤200×10×3即x≤3000

即甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点，此时，甲车行驶了共3000千米。

方案二：（画图法）

如图

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此时，甲车行驶了500×2+1000×2=3000（千米）。

方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升.当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点。

此时，甲车行驶了50×10×2+100×10×2=3000（千米）。

例2.（07鄂尔多斯）有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图15所示；乙公司每月通话收费标准如表3所示。

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图15

表3

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（1）观察图15，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是__________元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_________元；

（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通讯公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

解：（1）20；0.2

（2）通话时间不超过100分钟选甲公司合算

设通话时间为t分钟（t>100），甲公司用户通话费为y1元，乙公司用户通话费为y2元。

则：y1=20+0.2（t-100）=0.2t

y2=25+0.15t

当y1=y2即：0.2t=25+0.15t时，t=500

当y1>y2即：0.2t>25+0.15t时，t>500

当y1

答：通话时间不超过500分钟选甲公司；500分钟选甲、乙公司均可；超过500分钟选乙公司。

例3.（04河北省）光华农机租赁公司共有50合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。

两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

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（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。

解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30-x）台；派往B地区的乙型收割机为（30-x）台，派往B地区的甲型收割机为（x-10）台。

y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000

x的取值范围是：10≤x≤30（x是正整数）。

（2）由题意得200x+74000≥79600，

解不等式得x≥28。由于10≤x≤30，x取28，29，30这三个值，

有3种不同分配方案。

①当x=28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台。

②当x=29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台。

③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。

（3）由于一次函数y=200x+74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x=30时，y取得最大值。如果要使农机租赁公司这50合收割机每天获得租金最高，只需x=30，此时，y=6000+74000=80000。

建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割要全部派往B地区，可使公司获得的租金最高。