钢压杆稳定性和非弹性弯曲失稳研究

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摘要： 从十八世纪中期，欧拉提出了著名的轴压杆临界力公式，对于压杆稳定性问题的研究已经有二百多年的历史了。但是其中却花了一百多年的时间去认识欧拉公式仅仅适用于材料的弹性工作范围。对于非弹性压杆临界力的研究有双模量理论和切线模量理论。上述不管哪个理论都是从理想的直杆出发的，与实用压杆存在着各种“偶然偏心”（如：几何方面杆的初挠曲、压力不对称中物理方面材质不匀、存在残余应力等）的缺陷不相符，因此，对于实用压杆来讲，应当按照偏心压杆考虑更为实际。

Abstract： The study of compressed rod stability has been more than 200 years since Euler proposed the famous axial load critical force formula in the middle of 18th century. However， more than 100 years was used to recognize that Euler formula is only applicable within the elastic working range of the material. For the study of the inelastic compressed rod critical force， there are double modulus and tangent modulus theory. Both of them are based on ideal straight rod and are not always in accordance with the practical rods which sometimes are eccentric （such as geometrical initial bending， physical material irregularity and residual stress）. Therefore， for practical rods， they should be considered as eccentric rods.

关键词： 压杆稳定；切线模量理论；初始缺陷；失稳

Key words： compressed rod stability；tangent modulus theory；initial defect；instability

中图分类号：TU391 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）24-0103-03

0 引言

在弹性屈曲时，采用小变形理论，不计剪力影响，其临界力和临界应力分别是：

N■=■ σ■=■=■=■（1）

上式是欧拉公式。取■

切线模量理论假定杆从挺直到微弯位置过渡期间，轴向荷载增加，并且增加的平均轴向压应力σ=■大于弯曲引起的构件凸侧最外纤维的拉应力σb，从而截面上所有点的压应力都是增加的，其σ-ε关系曲线由切线模量Ei控制，界面中性轴与形心轴重合。N与N相比，N可以忽略，可以得到外力矩Ny与截面弯矩-EtIy″的平衡条件：EtIy″+Ny=0。从而，切线模量荷载Ncr，t=π2EtI/l02，具体应用时临界应力形式为：

σ■=■（2）

1 压杆计算理论的比较

1.1 欧拉公式与切线模量理论 变形模量以及长细比是影响欧拉公式和切线模量理论的最重要的因素，但是在应用中，并没有考虑理论受到残余应力和截面形状的影响。因此，在分析那些存在残余应力的实用压杆的时候，一定要考虑压杆的残余应力、杆件截面形状、失稳时所绕截面的形心轴以及制作工艺等相关因素。因此，以往一直采用单条柱子曲线的做法不适用于现在的实用压杆分析。折减模量理论提出，构件从直的位置到微弯位置时，轴向荷载保持常量。当构件微弯时，截面上任意一点的总应力将由一个均匀压应力σn=N÷A和一个弯曲应力σb组成。在构件的凸侧的应力按E卸载，凹侧应力由Et控制，即认为有效模量Er是E、Et的函数。双模理论又叫康-恩-卡理论，它的折减模量荷载由下式计算：

Ncr，r=π2EI/l02 式中Er=（EI2+EtI1）/I（3）

其中Er>Et，即σcr，r>σcr，t，I1受拉一侧截面惯性矩；I2受压一侧截面惯性矩。

香利模型认为压杆的弹塑性性质都集中由可变元件来实现，从而排出了实际压杆中同时应考虑沿着截面和杆件材料性质变化的复杂性。设模型在达到临界荷载前处于直线状态，当压力进一步增大时，模型将产生有限侧移？坠，元件变形且按照双线性应力应变图工作。利用模型的平衡条件、几何条件和物理关系可得临界荷载Ncr，s与？坠的关系式：Ncr，s=Ncr，t[1+■]（4）

式中τ=E2/Et。

由上式可以给出香利模型的N-？坠曲线，并且得出下述结论：ⅰ当？坠=0时，可得Ncr，s=Ncr，t，即在切线模量时，模型处于直线状态。说明模型保持直立状态时，不可能达到Ncr，r。ⅱ当？坠>0时，且r不等于1时，Ncr，s将随着？坠的增大而增大。当？坠趋于0时，可以证明Ncr，s趋于Ncr，t，可见，在非弹性压杆的压力N>Ncr，t之后，仍可以继续增加荷载。ⅲ若r=1，即E2=Et，这表明压杆弯曲时凸侧不发生卸载现象。可以证明此时Ncr，s=Ncr，t，即Ncr，s不随？坠变化而保持常量。但由双模理论，压力为常量，凸侧必有卸载作用。这说明，在有限变形时不会有r=1，ⅳ理论采用的切线模量Et假定为常数，而实际上Et随着应力加大而减小。因此其最大值介于Ncr，t与Ncr，r之间。

1.2 考虑初始缺陷时理论的选取 更为精确的试验研究表明，试验点更接近Ncr，t。因此轴心压杆非弹性屈曲的计算常采用切线模量理论。在实际工程中，理想的轴心受压杆是不存在的，他们总是具有各种例如初偏心、初弯曲和残余应力等初始缺陷，它们被称为工程杆。工程杆的Ncr比理想的轴心压杆的Ncr低。对于工程杆的计算，按小偏心受压构件的压溃理论确定承载力。若想在初弯曲和残余应力等各种因素的影响下求得实用压杆精确地临界力是非常繁琐困难的。其中最关键的是确定杆件截面在一定的压力作用下的弯矩和曲率即P-M或C-M之间的关系。为了求出相对M曲率，一般应当建立弯矩与曲率的近似函数，然后再指定P值。但是弯矩与曲率之间的关系受到残余应力的影响，并不完全呈现规则的反弯曲线，尤其T形截面在压力较大的情况下更为复杂。

为了有效的克服近似函数导致的误差，我们提出了一种“逆算单元长度法”。此方法是将有限元压杆分割成为若干个有限单元，并将其单元长度视为，然后将变形后的单元曲率R看做一个定值，最后根据内外平衡条件逆算出该单元的长度。此方法是在确定了与压力P相对应的压应变的条件下，由已知的曲率而计算出内弯矩M，然后利用平衡条件即内弯矩等于外弯矩求得单元长度，因此，要计算的单元曲率问题就用计算单元长度来代替。

考虑初始缺陷对受压构件稳定性的影响，荷载N作用下产生的挠度增量为y，在任意截面内力弯矩为-EIy″，外力弯矩为N（y0+y），得到平衡方程EIy″+N（y0+y）=0，将y0表达式代入，令k2=N/EI，则上式为：y″+k2y=-k2asin（πx）/l。其通解为y=C1sinkx+C2coskx+y*设特解y*=Csinπx/l，y*′=

C（π/l）cosπx/l，y*″=-C（π/l）2sinπx/l代入可得：边界条件为：x=0时，y=o得C2=0；x=l时，y=0得C1sinkl=0。当有初弯曲时N

y=■sin■=■asin■（5）

从上述求解过程可以看出，利用边界条件并不能得到稳定方程的解，并且求出临界力，应分析荷载-挠度曲线，从中找出临界力。在N作用下，杆件任一点的总挠度为：

y=y0+y=（1+■）asin■=■asin■（6）

当x=l/2时，杆件中点的总挠度为：？坠=■。当杆件中点挠度趋于无穷时，N才逼近临界荷载NE，与初始挠度值无关。

2 计算方法的选择

目前关于计算偏心钢压杆弯扭屈曲临界力的方法中，如果充分考虑各种影响因素就会使得计算相对复杂，因此，常常忽略弯矩平面内弯曲变形附加弯矩的影响，而是按照直杆作为计算的模型。存在的附加弯矩除了影响弯矩平面内弹性区的抗弯刚度外，也会对弯矩平面外的抗弯强度造成一定的影响。因此，如果在计算时不考虑附加弯矩的影响，不但计算出来的临界力不符合实际，更重要的是影响杆件的安全。

对于双向刚度相差不多的即所谓的柔性杆件，在弯曲平面内受到的弯曲变形更为明显。在弹性区的面积，针对自身的形心轴形成的惯性矩为Jxe、Jy，并且他们是随着弯矩平面内弯曲曲率R变化的。仍旧以上述为例，由图1可知：压力P作用在腹板一侧时，随着曲率R的增加，腹板首先是屈服，Je则以很快的速度减小；但是J仅仅在翼缘屈服之后才会有明显的降低。除在弹性工作阶段，差不多从进入弹塑性工作阶段开始，Je将逐渐远小于Jy。杆件如在这阶段工作，显然承载力应由弯矩平面内失稳所控制。

所在戳面上，当Jx>J时，杆件临界长度应按弯矩平面内失稳计算，其P即为弯矩平面内弯扭失稳临界力；反之， 如Jy

如图2虚线所示，在压力较大的情况下，临界力为弯矩平面内失稳临界力；压力较小时，临界力为弯矩平面外弯扭屈曲的临界力，如图2实线所示。虚实线交界处所对应的荷载即为分枝荷载。通过对不同偏心率所组成的各条压杆曲线中的分界点连成分界线，就可在图上划分出两个区域来，A区即为弯矩平面内失稳区；B区为弯矩平面外失稳区。

3 偏心距对于失稳的影响

当作用于两端的轴向力N与构件轴线有很小的偏心时，偏心距为e，此时的受压构件已不是轴心受压状态，而转变为偏心受压构件。在任一截面处的内力弯矩为-EIy″，外力矩为N（e+y），令k2=N/EI，则平衡方程为：y″+k2y=-k2e。方程的全解为y=C1sinkx+C2coskx-e。边界条件为x=0时y=0得C2=e代入上式，得方程的解：

y=（■sinkl+coskx-1）e--C=■--■+■=1

y=（■sinkl+coskx-1）e（7）

有初始偏心的轴心受压构件的稳定问题是第二类稳定问题，即极值点失稳。对此类问题需要求出荷载-挠度曲线，从而得出临界荷载。

测定参与应力的前提是假定杆件仅仅存在纵向的残余应力，而在厚度方向是均匀分布的。测量之前，先测量残余应力分布受横向切断的影响，在处理刨边的三种截面时采用切断法、切片法以及切条法进行焊接残余应力的测定。残余应力的理论计算值按切条法实测结果，用统计法处理的简化分布线型，即残余拉应力区取两直线；压应力区取二次抛物线。

关于钢偏压杆弯矩平面内的相关公式，按截面承载力理论，提出偏压杆弯矩平面内相关公式如下：N/eNs+CM/Ms=1。式中Ns=AQs（A——横截面，Qs——屈服应力）；Ms=WsQs（Ws为塑性抵抗矩；W为弹性抵抗矩）；C——系数，与M/N值以及截面形状和尺寸、残余应力分布等有关。经分析工字形截面的C值为：

■（8）

由此可导出焰切边典型三块板组焊成的工形截面的偏压杆弯矩平面内相关公式为：

■+■=1（9）

式中的M代表沿杆长均匀分布的弯矩，如果考虑弯矩梯度，那么应当将M乘以折减系数Cm。当弯矩沿杆长不均匀分布或杆件受到横向荷载作用时，应将M乘以相应的系数予以折算，但是一定要按照不同的情况适当的对M进行取值。从表Zb组64条曲线中，对各长细比相应的临界力概率分布的x检验结果，正态分布通过70%；对数正态分布通过80%，因此应按对数正态分布取分位值。按50%分位值求出的三组曲线，几乎等于算术平均值曲线。

将a、b、c三条代表曲线与欧洲钢结构协会（ECCS）建议的多条柱子曲线、美国里海大学的多条柱子曲线，以及我国现行《钢结构设计规范》（TJ17-74）采用的单一柱子曲线比较（见图3），可以看出，我们建议的a、b曲线稍高于ECCS的A、B曲线，其C线则稍低于ECCS的C线；当λ130时，二者几乎接近；λ

4 结论

可以得到如下结论：当构件完全弹性时，荷载-挠度曲线以N=NE为渐近线；实际上由于初始偏心产生的弯矩使构件常处于弹塑性状态，因此荷载-挠度曲线呈现出虚线所示极值点失稳形态，其极限荷载为Nu。当e为某个有限值时，偏心距e越大则柱所能承担的荷载N比理想条件下的欧拉荷载NE降低越多。由于初弯曲、初偏心对受压构件的影响均导致出现极值点失稳现象，都使构件的承载力有所降低，两种影响并没有本质区别，因此在确定实际构件承载力时，通常将两者的影响一并考虑。

参考文献：

[1]周绪红，郑宏.结构稳定理论[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]周绪红，王世纪.薄壁机构稳定理论及应用[M].北京：科学出版社，2009.

[3]郭在田.钢压弯构件在弯矩作用平面外的稳定计算[J].工业建筑，1988（12）.

[4]李开禧，肖允徽.逆算单元长度法计算单轴失稳时钢压杆的临界力[J].重庆建筑工程学院学报，1982（04）.