解析几何题的复数解法

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复数z=a+bi（a、b∈R）与有序实数对Z（a，b）是一一对应关系，有序实数对Z（a，b）与平面直角坐标系中的点Z是一一对应的（这个直角坐标平面称作复平面），复平面中的每一个点Z又与向量一一对应。这样复数z=a+bi（a、b∈R）、有序实数对Z（a，b）、复平面内的点Z及向量就建立了如图1所示的对应关系。

根据上述对应关系可知，平面直角坐标系是沟通复数与平面解析几何的桥梁。有些解析几何问题若用解析法去解，计算量相当大，当我们把直角坐标系所在平面看成是复平面时，就可以将平面解析几何的有关问题转化为复数问题来解决，利用复数的几何意

义或向量运算，既可以简化解题过程，又避免了繁杂的运算，运用得当，可以大大提高解题速度和准确率。

一、利用复数进行几何证明

【例1】如图2，ABC在x轴上方，B、C对应的点的坐标分别为（a，0）、（-a，0），（a∈R），以AB、AC为腰，在ABC外分别作等腰直角三角形ABD、ACE（B、C为直角顶点）。试证：DE的中点M为定点。

证明：把直角坐标平面看成是复平面，设A对应的复数为z，则对应于复数z-a，对应于复数z+a，

因ABD、ACE为等腰直角三角形，

故 M为定点.

【点评】要证M为定点，需求出点M的坐标，用解析法计算量相当大，本题巧妙应用复数运算的几何意义，既直观，且运算量

很小。

二、利用复数进行几何运算

【例2】如图3，已知正方形ABCD的相对顶点A、C的坐标分别为A（0，-1）、C（2，5），求另两个顶点B、D的坐标。

由线段的中点坐标公式，得点D的坐标为（-2，3）.

【点评】此题利用复数加法、减法、乘法的几何意义解决思路简单清晰，而且运算量比直接用解析法解决要小得多。

三、利用复数求动点的轨迹

【例3】已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于直线l的对称点都在抛物线C上，求直线l和抛物线C的方程。（1994年全国高考题）

解：如图4所示，设抛物线的方程为y2=2px（p>0），点A关于直线l的对称点A′对应的复数为a+bi（a，b∈R），则点B关于直线l的对称点B′对应的复数为

【点评】当动点（或定点）在已知曲线（直线、圆、双曲线、抛物线）上，则点的坐标满足曲线方程，因此常可用代入法获解，本题中的A′、B′在抛物线上，因此代入抛物线方程即可得到a、b的一个关系式。这题的解答体现了用复数代入法求动点轨迹的解题思路。

【例4】已知一定圆C与圆外一定点O，在圆上任取一点Q，以OQ为边作正OQR（按逆时针方向），求动点R的轨迹方程。

解：以OC所在的直线为x轴，点O为原点建立如图5所示的直角坐标系，设OC=a（a为常数），圆C的半径为r（r为常数），则圆C的方程为（x-a）2+y2=r2，设点Q的坐标为（x1，y1），R（x，y），则

【点评】因为OQR为正三角形，所以用复数乘法的几何意义，很容易就能找到OR、OQ所对应复数的关系。以Q点所对应的坐标为参数，建立参数方程，再用代入法消去参数，即可得到答案。本题在解题过程中，也体现了用复数参数法求动点轨迹的数学思

想方法。

俗话说：“他山之石，可以攻玉。”我们在数学学习过程中，要将各部分知识融会贯通，解题时当一种方法行不通时，及时地调整思路。就如我们在解解析几何问题，当用解析法求解出现困难时，换用复数法求解，有时会使问题变得简单、直接，而且计算量小，准确性高。

（作者单位 江苏省司法警官高等职业学校）