第27讲 夹角、距离与空间向量
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考情分析
夹角与距离是立体几何中的常见考点，在高考中经常出现.单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分；解答题中的分步设问中也经常会有关于夹角和距离的问题，分值约为4至6分.随着新课改的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的方向发展，从历年的考题变化来看，以多面体和旋转载体的线面位置关系的论证，角和距离的探求是常考常新的热门话题.
命题特点
该知识点文科中很少考到，理科中在小题中不是必考考点，在解答题中则是常见考点.该考点独立考察立体几何，很少和其他知识点产生交集，但是难度中等偏下，属于必须得分题目.
1. 点面距离
例1 在四棱锥[S-ABCD]中，[AD∥BC]且，[ADCD，]平面[CSD]平面[ABCD]，[CSDS]，[CS=2AD=2]，[E]为[BS]的中点，[CE=2]，[AS=3].求：
（1）点[A]到平面[BCS]的距离；
（2）二面角[E-CD-A]的大小.
解法一 （1）因为[AD∥BC]，且[BC?]平面[BCS]，所以[AD∥]平面[BCS].从而[A]点到平面[BCS]的距离等于[D]点到平面[BCS]的距离.
因为平面[CSD]平面[ABCD]，[ADCD]，故[AD]平面[CSD]，从而[ADSD]，由[AD∥BC，]得[BCDS]，又由[CSDS]知[DS]平面[BCS]，从而[DS]为点A到平面[BCS]的距离，因此在[RtADS]中[DS=AS2-AD2][=2].
（2）如图，过[E]点作[EGCD]，交[CD]于点[G]，又过[G]点作[GHCD]，交[AB]于H，故[∠EGH]为二面角[E-CD-A]的平面角，记为[θ]，过E点作[EF//BC]，交[CS]于点[F]，连结[GF]，因平面[ABCD]平面[CSD]，[GHCD]，易知[GHGF]，故[θ=π2-∠EGF].
由于[E]为[BS]边中点，故[CF=12CS=1]，在[RtCFE]中，[EF=CE2-CF2=2-1=1]，因[EF]平面[CSD]，又[EGCD]
故由三垂线定理的逆定理得[FGCD]，从而又可得[CGF～CSD].
因此[GFDS=CFCD].而在[RtCSD]中，
[CD=CS2+SD2=4+2=6]，
故[GF=CFCD・DS=16・2=13].
在[RtFEG]中，[tanEGF=EFFG=3]可得，
[∠EGF=π3，]故所求二面角的大小为[θ=π6].
解法二 （1）如图，以[S（O）]为坐标原点 ，射线[OD，OC]分别为[x]轴，[y]轴正向，建立空间坐标系，设[A（xA，yA，zA）]，因平面[COD]平面[ABCD]，[ADCD]，故[AD]平面[COD].
即点[A]在[xOz]平面上，因此[yA=0，ZA=AD=1]，
又[x2A+12=AS2=3，xA=2]，从而[A2，0，1].
因[AD∥BC]，故[BC]平面[CSD]，即[BCS]与平面[yOx]重合，从而点[A]到平面[BCS]的距离为[xA=2].
（2）易知[C（0，2，0），D（，0，0）].因[E]为[BS]的中点，[BCS]为直角三角形，
[BS=2CE=22].
设[B（0，2，ZB）]，[ZB>0]，则[ZA=2].
故[B（0，2，2）]，所以[E（0，1，1）].
在[CD]上取点[G]，设[G（x1，y1，0）]，使[GECD].
又[CD=（2，-2，0），GE=（-x1，-y1+1，1），CD?GE=0]，
故[2x1-2（y1-1）=0].①
又点[G]在直线[CD]上，即[CG∥CD]，
又[CG=（x1，y1-2，0）]，则有[x12=y1-2-2].②
联立①，②，解得，[G=（23，43，0）].
故[GE]=[（-23，-23，1）].
又[ADCD]，所以二面角[E-CD-A]的平面角为向量[GE]与向量[DA]所成的角，记此角为[θ].
因为[GE]=[233]，[DA=（0，0，1），DA=1，GE?DA=1]，所以 [cosθ=GE?DAGE?DA=32]
故所求的二面角的大小为[π6].
2. 线线距离
例2 已知正方体[ABCD-ABCD]的棱长为1，求直线[DA′]与[AC]的距离.
解析 连结[AC]，则[AC∥]面[ACD]，
连结[DA，DC，DO]，过[O]作[OEDO]于[E].
因为[AC]面[BBDD]，所以[ACOE].
又[ODOE]，所以[OE]面[ACD].
因此[OE]为直线[DA]与[AC]的距离.
在[RtOOD]中，[OE・OD=OD・OO]，[OE=33].
点拨 此题是异面直线的距离问题，可作出异面直线的公垂线.若考虑到异面直线的公垂线不易作出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离.
3. 线面距离
例3 如图，在五面体[ABCDEF]中，[AB∥DC]，[∠BAD=π2]，[CD=AD=2]，四边形[ABFE]为平行四边形，[FA]平面[ABCD]，[FC=3]，[ED=7].求：
（1）直线[AB]到平面[EFCD]的距离；
（2）二面角[F-AD-E]的平面角的正切值.
解法一 （1）[AB∥DC]，[DC?]平面[EFCD]，
[AB]到面[EFCD]的距离等于点[A]到面[EFCD]的距离，过点[A]作[AGFD]于[G].
因[∠BAD=π2]，[AB∥DC]，故[CDAD].
又[FA]平面[ABCD]，由三垂线定理可知，[CDFD]，
故[CD]面[FAD]，[CDAG]，
所以[AG]为所求直线[AB]到面[EFCD]的距离.
在[RtABC]中，[FD=FC2-CD2=9-4=5].
由[FA]平面[ABCD]得，[FAAD]，
从而在[RtFAD]中，[FA=FD2-AD2=5-4=1].
[AG=FA・ADFD=25=255].即直线[AB]到平面[EFCD]的距离为[255].
（2）由己知得，[FA]平面[ABCD]，[FAAD]，
又由[∠BAD=π2]知，[ADAB]，故[AD]平面[ABFE].
[DAAE]，所以[∠FAE]为二面角[F-AD-E]的平面角，记为[θ].
在[RtAED]中，[AE=ED2-AD2=7-4=3]，
由[ABCD]得，[FE∥BA]，从而[∠AFE=π2].
在[RtAEF]中，[FE=AE2-AF2=3-1=2]，
故[tanθ=FEFA=2].
所以二面角[F-AD-E]的平面角的正切值为[2].
解法二 （1）如图以[A]点为坐标原点，[AB，AD，AF]的方向为[x，y，z]的正方向建立空间直角坐标系数，则[A（0，0，0）]，[C（2，2，0），D（0，2，0）].
设[F（0，0，z0）（z0>0）]，[FC=（2，2，-z0）]，由[FC=3].
即[22+22+z02=3]，解得[F（0，0，1）].
[AB∥DC]，[DC?]面[EFCD]，
所以直线[AB]到面[EFCD]的距离等于点[A]到面[EFCD]的距离.设[A]点在平面[EFCD]上的射影点为[G（x1，y1，z1）]，则[AG=（x1，y1，z1）].因[AG・DF=0]，且[AG・CD=0]，而[DF=（0，-2，1）]，[CD=（0，-2，1）]，此即[-2y1+z1=0，-2x1=0，] 解得[x1=0.]①
又[G]点在[yOz]面上，故[G]点在[FD]上.
[GF∥DF]，[GF=（-x1-y1-z1+1）]，
故有[y12=z1+1].②
联立①②解得，[G（0，25，45）].
[AG]为直线[AB]到面[EFCD]的距离.
而[AG=（0，25，45）]，所以[AG=255].
（2）因四边形[ABFE]为平行四边形，
则可设[E（x0，0，1）（x0
由[ED=7]得，[x02+22+1=7]，解得[x0=-2].即[E（-2，0，1）].
故[AE=（-2，0，1）].
由[AD=（0，2，0），][AF=（0，0，1）]知，
[AD・AE=0，][AD・AF=0，]
故[∠FAE]为二面角[F-AD-E]的平面角，
又[EF=（2，0，0）]，[EF=2]，[AF=1]，
所以[tan∠FAE=EFFA=2].
点拨 线面距离往往转化成点面距离来处理，最转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线.
4. 面面距离
例4 在长方体[ABCD―A1B1C1D1]中，[AB=4，][BC=3，][CC1=2]，如图.
（1）求证：平面[A1BC1∥]平面[ACD1]；
（2）求（1）中两个平行平面间的距离.
解析 （1）由于[BC1∥AD1]，则[BC1∥]平面[ACD1].
同理，[A1B∥平面ACD1，]
则平面[A1BC1∥平面][ACD1].
（2）设两平行平面[A1BC1]与[ACD1]间的距离为[d]，
则[d]等于[D1]到平面[A1BC1]的距离.
易求[A1C1=5]，[A1B=25]，[BC1=13]，
则[cosA1BC1=265，]则[sinA1BC1=6165，]则[SA1B1C1=61.]
由于[VD1-A1BC1]=[VB-A1C1D1]，
则[13SA1B1C1・d=13・（12AD1・C1D1）・BB1]，
代入求得[d=126161]，即两平行平面间的距离为[126161].
点拨 立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能“立”起来.在具体问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.
5. 线线角
例5 如图，在三棱锥[S-ABC]中，[∠SAB=∠SAC=][∠ACB=90°]，[AC=2，BC=13]，[SB=29]，求异面直线[SC与AB]所成角的余弦值.
解法1 用公式.
当直线AB[?]平面[α=A]，[AB]与[α]所成的角为[θ1，l]是[α]内的一条直线，[l]与[AB]在[α]内的射影[AB]所成的角为[θ2]，则异面直线[l]与[AB]所成的角[θ]满足[cosθ=cosθ1cosθ2].以此为据求解
由题意知，[SA]平面ABC，[ACBC]，由三垂线定理，知[SCBC]，所以[BC]平面[SAC].
因为[AC-2，BC=13，SB=29]，由勾股定理得，[AB=17，SA=23，SC=4].
在[RtSAC]中，[cos∠SCA=ACSC=12]，在[RtACB]中，[cos∠CAB=ACAB=217].
设[SC]与[AB]所成角为[θ]，
则[cosθ=][cos∠SCA・][cos∠CAB=1717].
解法2 平移.
过点[C]作[CD∥BA]，过点[A作BC]的平行线交[CD]于[D]，连结[SD]，则[∠SCD]是异面直线[SC与AB]所成的角.又四边形[ABCD]是平行四边形.
由勾股定理得，
[CD=AB=17，SA=23，SD=5.]
在[SCD]中，由余弦定理得，
[cos∠SCD=][SC2+DC2-SD22・SC・DC=1717].
点评 若两条直线不垂直，可经过如下几个步骤求线线角：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角[θ]；（2）证明这个角[θ]（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出[θ]的度数.
6. 线面角
例6 如图，在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=4]，[AA1=7]，点[D是BC]的中点，点[E]在[AC]上，且[DEA1E].
（1）证明：平面[A1DE]平面[ACC1A1]；
（2）求直线[AD]和平面[A1DE]所成角的正弦值.
解析 （1）由正三棱柱[ABC-A1B1C1]的性质知，[AA1]平面[ABC].
又[DE?]平面[ABC]，所以[DEAA1].
而[DEA1E]，[AA1?A1E=A1]，
所以DE平面[ACC1A1].又[DE?]平面[A1DE]，
故平面[A1DE]平面[ACC1A1].
（2）法1：过点A作AF垂直[A1E]于点[F]，连接DF.
由（1）知，平面[A1DE]平面[ACC1A1]，
所以[AF]平面[A1DE]，
故[∠ADF]是直线[AD]和平面[A1DF]所成的角.
因为[DEACC1A1]，所以[DEAC].
而[ABC]是边长为4的正三角形，
于是[AD=23]，[AE=4-CE=4-12CD=3].
又因为[AA1=7]，
所以[A1E=AA12+AE2=（7）2+32=4]，
[AF=AE・AA1A1E=374]，
[sin∠ADF=AFAD=218].
即直线AD和平面[A1DE]所成角的正弦值为[218].
法2：如图所示，设[O]是[AC]的中点，以[O]为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是[A（2，0，0）]，[A1（2，0，7）]，[D（-1，3，0）]，[E（-1，0，0）].
[A1D=（-3，3，-7），][DE=（0，-3，0），][AD=（-3，3，0）.]
设[n=（x，y，z）]是平面[A1DE]的一个法向量，
则[n?DE=-3y=0，n?A1D=-3x+3y-7z=0，]
解得，[x=-73z，y=0].
故可取[n=（7，0，-3），]
[cosn，AD=n?ADn?AD=-374×23=-218]，
故直线[AD]和平面[A1DE]所成角的正弦值为[218].
点拨 本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等.能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
备考指南
空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决.
1. 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.
2. 空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离.求距离的一般方法和步骤是：一作――作出表示距离的线段；二证――证明它就是所要求的距离；三算――计算其值.此外，我们还常用体积法求点到平面的距离.
限时训练（1）
1. 设平面[α]的法向量为[a=（1，2，-2）]，平面[β]的法向量为[b=（-2，-4，k）]，若[α∥β]，则k等于 （ ）
A.2 B.-4
C.4 D.-2
2. 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是[a=（0，2，1）]，[b=（2，5，5）]，那么这条斜线与平面的夹角是 （ ）
A.90° B.60°
C.45° D.30°
3. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）
A.75° B.60°
C.45° D.30°
4. 在空间直角坐标系[O-xyz]中，平面[OAB]的法向量为[n=（2，-2，1）]，已知[P（-1，3，2）]，则点[P]到平面[OAB]的距离[d]等于 （ ）
A.4 B.2
C.3 D.1
5. 已知在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点[A1]到截面[AB1D1]的距离是 （ ）
A. [83] B. [38]
C. [43] D. [34]
6. 正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，二面角[A-BD1-B1]的大小为 （ ）
A.60° B.30°
C.120° D.150°
7. 已知[ABC]的三个顶点坐标分别为[A（2，3，1）]，[B（4，1，-2），C（6，3，7），]则[ABC]的重心坐标为 （ ）
A. （[6，72，3]） B. （[4，73，2]）
C. （[8，143，4]） D. （[2，76，1]）
8. 在正方体[A1B1C1D1-ABCD]中，[E]是[C1D1]的中点，则异面直线[DE与AC]夹角的余弦值为 （ ）
A.[-1010] B.[-120]
C. [120] D. [1010]
9. 在直三棱柱[A1B1C1-ABC]中，[∠BCA=]90°，点[D1，F1]分别是[A1B1，A1C1]的中点，[BC=CA=CC1]，则[BD1]与[AF1]所成的角的余弦值是 （ ）
A. [3010] B. [12] C. [3015] D. [1510]
10. 正四棱锥[P-ABCD]的所有棱长相等，[E]为[PC]的中点，那么异面直线[BE与PA]所成角的余弦值等于 （ ）
A. [12] B. [22] C. [23] D. [33]
11. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]，直线[BC1]与平面[A1BD]所成的角的余弦值是________.
12. 如图，在空间直角坐标系中有棱长为[a]的正方体[ABCD-A1B1C1D1]，点[M]是线段[DC1]上的动点，则点[M]到直线[AD1]距离的最小值是________.
13. [PA]平面[ABC，][ACBC，PA=AC=1，][BC=2，]则二面角[A-PB-C]的余弦值为________.
14.在空间直角坐标系中，定义：平面[α]的一般方程为：[Ax+By+Cz+D=0（A，B，C，D∈R]，且[A，B，C]不同时为零），点[P（x0，y0，z0）]到平面[α]的距离为：[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心[O]到侧面的距离等于________.
15. 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是矩形，[PA]底面[ABCD]，[E]是[PC]的中点，已知[AB=2]，[AD=22]，[PA=2]，求：
（1）三角形[PCD]的面积；
（2）异面直线[BC与AE]所成的角的大小.
16. 如图甲，在直角梯形[ABCD]中，[AB∥CD，][∠BAD=90°，][AB=2，AD=3，CD=1，]点[E，F]分别在[AD，BC]上，且[AE=13AD]，[BF=13BC].现将此梯形沿[EF]折至使[AD=3]的位置（如图乙）.
（1）求证：[AE]平面[ABCD]；
（2）求点[B]到平面[CDEF]的距离；
（3）求直线[CE]与平面[BCF]所成角的正弦值.
17. 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]是[DD1]的中点.
（1）求直线[BE]和平面[ABB1A1]所成的角的正弦值；
（2）在[C1D1]上是否存在一点[F，]使[B1F∥平面][A1BE？]证明你的结论.
18. 如图，四边形[ABCD]为直角梯形，[AD∥BC]，[ADCD，AD=AB=2BC]，四边形[ABEF]为矩形，平面[ABEF]平面[ABCD].
（1）[C，D，E，F]四点共面吗？证明你的结论；
（2）设[AF=kAB（0
限时训练（2）
1. 已知点[G是ABC的重心，O]是空间任一点，若[OA+OB+OC=λOG]，则[λ]的值为 （ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2. 若不同直线[l1，l2]的方向向量分别为[μ，ν]，则下列直线[l1，l2]中既不平行也不垂直的是 （ ）
A.[μ=（1，2，-1），ν=（0，2，4）]
B.[μ=（3，0，-1），ν=（0，0，2）]
C.[μ=（0，2，-3），ν=（0，-2，3）]
D.[μ=（1，6，0），ν=（0，0，-4）]
3. 在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是正方形，侧棱[PD]平面[ABCD]，[AB=PD=a].点[E为侧棱PC]的中点，又作[DFPB交PB]于点[F].则[PB与平面EFD]所成角为 （ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4. 如图，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ACB=90°]，[AA1=2，][AC=BC=1，]则异面直线[A1B]与[AC]所成角的余弦值是 （ ）
A. [63] B. [66]
C. [33] D. [22]
5. 已知[a=（1，1，0），b=（-1，0，3）]，且[ka+b]与[2a-b]垂直，则[k]的值为 （ ）
A. [125] B.1
C. [75] D.2
6. 如图，过正方形[ABCD]的顶点[A]，引[PA]平面[ABCD].若[PA=BA]，则平面[ABP]和平面[CDP]所成的二面角的大小是 （ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
7. 正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为[a]，点[M]在[AC1]上且[AM=12MC1]，[N为B1B]的中点，则[MN]为 （ ）
A. [216a] B. [66a]
C. [156a] D. [153a]
8. 将正方形[ABCD]沿对角线[BD]折成直二面角[A-BD-C]，则下面结论错误的为 （ ）
A. [ACBD]
B. [ACD]是等边三角形
C. [AB与平面BCD所成的角为60°]
D. [AB与CD所成的角为60°]
9. 在正三棱柱[ABC―A1B1C1]中，[AB=AA1]，则[AC1]与平面[BB1C1C]所成角的正弦值为 （ ）
A. [22] B. [155]
C. [64] D. [63]
10. 在三棱柱[ABC―A1B1C1]中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点[D]是侧面[BB1C1C]的中心，则[AD]与平面[BB1C1C]所成角的大小是 （ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
11. 到正方体[ABCD- A1B1C1D1]的三条棱[AB，CC1，A1D1]所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个.其中正确的序号是________.
12. 如图所示，在三棱柱[ABC―A1B1C1]中，[AA1]底面[ABC，AB=BC=AA1]，[∠ABC=90°]，点[E，F]分别是棱[AB，BB1]的中点，则直线[EF]和[BC1]所成的角是________.
13. 在四面体[P- ABC]中，[PA，PB，PC]两两垂直，设[PA=PB=PC=a]，则点P到平面[ABC]的距离为________.
14. 底面是正方形的四棱锥[A- BCDE中，AE]底面[BCDE]，且[AE=CD=a.G，H]分别是[BE，ED]的中点，则[GH]到平面[ABD]的距离是________.
15. 如图所示，已知直三棱柱[ABC―A1B1C1]中，[ABC]为等腰直角三角形，[∠BAC=90°，]且[AB=AA1，D，E，][F]分别为[B1A，C1C，BC]的中点.求证：
（1）[DE∥]平面[ABC]；
（2）[B1F]平面[AEF].
16. 如图，四棱锥[P- ABCD]中，[PA]底面[ABCD]，[BC=CD=2]，[AC=4]，[∠ACB=∠ACD=π3]，[F]为[PC]的中点，[AFPB].
（1）求[PA]的长；
（2）求二面角[B- AF- D]的正弦值.
17. 如图，在三棱锥[P-ABC]中，[AC=BC=2，][∠ACB=90°]，[AP=BP=AB]，[PCAC，点D为BC]的中点.
（1）求二面角[A-PD-B]的余弦值；
（2）在直线[AB]上是否存在点[M]，使得[PM]与平面[PAD]所成角的正弦值为[16]，若存在，求出点[M]的位置；若不存在，说明理由.
18. 如图所示，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[BA=BC=2，][BA?BC=0，]异面直线[A1B与AC成60°]的角，点[O，E分别是棱AC和BB1]的中点，点[F是棱B1C1]上的动点.
（1）求证：[A1EOF]；
（2）求点[E到面AB1C]的距离；
（3）求二面角[B1-A1C-C1]的大小.