中学数学中定义域的地位和作用
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函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。代数中的恒等式、方程、不等式都可用函数、概念去解释，而函数定义域是函数不可缺少的组成部分，因此在函数式变形化简、解不等式或方程，求函数极值及解析几何中求轨迹方程都要充分考虑定义域的作用。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维能力是十分有益的. 在函数式变形化简、解不等式或方程，求函数极值及解析几何中求轨迹方程都要充分考虑定义域的作用，否则会出现不严密甚至是错误的现象。
一 定义域的地位
1.函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
故函数关系式为： .
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：
即：函数关系式为： （ ）
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
2.函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数 在[-2，5]上的最值.
解：
当 时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数 在R上适用，而在指定的定义域区间 上，它的最值应分如下情况：
⑴ 当 时， 在 上单调递增函数 ；
⑵ 当 时， 在 上单调递减函数 ；
⑶ 当 时， 在 上最值情况是： ，
.即最大值是 中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
，
函数 在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
3.函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数 的值域.
错解：令
故所求的函数值域是 .
剖析：经换元后，应有 ，而函数 在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
4.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数 的单调区间.
解：先求定义域：
函数定义域为 .
令 ，知在 上时，u为减函数，在 上时， u为增函数。
又 数.
函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
5.函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数 的奇偶性.
解：
定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称
函数 是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
函数 是奇函数.
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。
二 定义域的作用
1.定义域在函数解析式变形化简中的作用
例1：函数 与y=x， ）与 是否一样？
解：不一样，其原因就在于它们定义域不同
定义域：x≠0的所有实数
y=x定义域：一切实数
对于 由x2-2x-3>0知其定义域为：（-∞，-1）∪（3，+ ∞），
y= x2-2x-3的定义域：为一切实数。
因此在研究某函数时如需要将其解析式变形化简，必须指出这一变形是在原函数定义域上进行。
例2：已知函数 ，求使y=0，y>0，y
如果我们直接由y=0求函数的零点，由y>0，y
解：函数定义域由不等式组：
- -x+6>0
8x-1>0
在此定义域内原函数可以化简为
y=（-x2-x+6）+3x-3=-x2+2x+3
讨论：y=0时，即-x2+2x+3=0时，
有x1=-1， x2=3， x3=3不在定义域内舍去
当x=-1时y=0
y>0时，即-x2+2x+3>0，解之得-1
结合定义域应为-1
当-1
y
结合定义域应为-3
当-3
例3：已知f（x+ ）=x2+x-1 ，求f（x）表达式并画函数图表
解：f（x+ ）=（x+ ）2-2
令x+ =t，则f（t）=t2-2，即f（x）=x2-2，
再确定其定义域
x与 同号，t=x+ =x+| | ≥2
x 2，
故f（x）= x2-2的定义域为 ∪
函数f（x）= x2-2的图象为抛物线在X轴上
方的部分（如图1）
2.定义域在解方程和不等式中的作用
例1：在实数范围内解方程
解：为使根式有意义必须
x2+5x-14≥0 （1）
x+7≥0 解之得x1=2， x2=-7
2-x≥0
经检验：原方程根为x=2。
例2：解方程
解：方程两边函数定义域由不等式组
得（x+1）3=5x2+4x-1 即x3-2x2-x+2=0， （x-1）（x+1）（x-2）=0，
x1=1， x2=-1， x3=2， x>1且x≠2， 原方程无解
3.定义域在求最值方面的作用
例1：已知x2-3x≤0，求函数y= x2-4x+5的最值
解：条件x2-3x≤0就是函数y= x2-4x+5的最值存在的自变量的取值范围。因此我们要求函数y=x2-4x+5的最值必须要考虑到条件0≤x≤3，y=x2-4x+5=（x-2）2+1，2∈[0，3]，
当x=2时，ymin=1， 当x=0时，ymax=5
例2：设x1，x2为方程4x2-4mx+m+2=0的二实根，问m为何值时，x12+ x22有最小值，并求出这个最小值
解：由韦达定理知
x1+x2=m
x1・x2=
y= x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2
=m2 2 =m2- -1
又 x1，x2为方程4x2-4mx+m+2=0的二实根，
=（-4m）2-4・4（m+2）≥0，即m2-m-2≥0，
解之得m≤-1或m≥2，
故y=m2- -1中m取值范围为 ∪
a=1，而m=- = 不在m取值范围内，因此应考虑y= m2- -1在单调区间 及 的端点值。
考虑到抛物线开口向上，且4-1-1 〉-1-1-
当m=-1时，ymin= ，即x12+x22最小值为
4.函数定义域在解析几何求轨迹中的作用
例1：已知圆的方程为 （m>0），求圆心轨迹C的方程并作图。
消去m及x2-（2y）2=1（x>0，y>0）
圆心轨迹C是双曲线x2-4y2=1在第一象限的部分（如图2的实线部分）
此曲线为以（- ，0）为顶点，开口向右的抛物线满足条件 的一部分（如图）
（2）设曲线上点（x，y）与（2，0）距离为s，则S2=（x-2）2+y2=（x-2）2+2x+1=（x-1）2+4
又 ，s2=（x-1）2+4是减函数，
当x= 时s2取最小值 从而s最小值为
结论：综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响；在函数式变形化简、解不等式或方程，求函数极值及解析几何中求轨迹方程都要充分考虑定义域的作用，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性.
引 用 文 献
1. 王岳庭主编 数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集 北京 海洋出版社 1998
2. 田万海主编 数学教育学 浙江 浙江教育出版社 1993
3. 庄亚栋主编 高中数学教与学（99.2、99.6） 扬州 中学数学教与学编辑部出版 1999