例谈两个在同一直线上的焦半径的四则运算

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在最近几年的高考数学试题中,经常出现与圆锥曲线在一条直线上的两个焦半径的四则运算(其中典型情况是积与商)密切相关的试题.这类问题若从极坐标的角度出发,很多结果还是容易理解的,但对于没学过极坐标的同学而言,就要绕很大的弯路，甚至难以求出最后结果.本文针对圆锥曲线的一般情形,从定义出发,得出几个通用公式,再与用极坐标法求出的结果对照(二者结果一致),最后应用这些结论解决几个相关的问题.

图1

如图1，是一个一般的圆锥曲线(部分),其中F为焦点,直线l是相应的准线,K是F到l的垂足，过焦点F的直线与圆锥曲线交于A,B两点,设从KF方向到BA方向，即以射线FK的反向射线为始边，线射FA为终边的角为θ图1中是0

由圆锥曲线的第二定义，有|AF||AD|=e,|FB||BC|=e,在RtABE中，有|AE||AB|=cos θ,即|AD|－|BC||AB|=cos θ,于是ρ1－ρ2ρ1+ρ2・1e=cos θ,从而有ρ1ρ2=1+ecos θ1－ecos θ①.这个结果可以从0＜θ＜π2的情况推广到0＜θ＜2π的所有情况.

而这个结果用极坐标法求几乎是显然的(以F为极点,KF方向为极轴正方向),易知图1中圆锥曲线上任一点满足极坐标方程ρ=ep1－ecos θ（p为焦点到相应准线的距离），从而ρ1=ep1－ecos θ,ρ2=ep1－ecos(θ±π),立得①式,同时可得ρ1ρ2=e2p21－e2cos2θ②，ρ1+ρ2=2ep1－e2cos2θ③.

特例：对于抛物线，有离心率e=1,故①、②、③式分别退化为ρ1ρ2=1+cos θ1－cos θ④，ρ1ρ2=p21－cos2θ=p2sin2θ⑤，ρ1+ρ2=2p1－cos2θ=2psin2θ⑥.

有了这些结果,下面几个问题的求解就易如反掌了.

例1 (2008年全国Ⅱ理科卷)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点,设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于 .

简解

本题离心率e=1,题意隐含θ=π4,于是|FA||FB|=ρ1ρ2=1+cos θ1-cos θ=3+22.

例2 （2008年江西理科卷）过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），则|FA||FB|= .

简解

本题离心率e=1，题意隐含θ=90°+30°=120°，于是|FA||FB|=1+cos 120°1-cos 120°=13.

图2

例3

如图2，设O为抛物线的顶点, F为焦点,且PQ为过点F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求OPQ的面积.

简解

显然本题中e=1,p=2a,于是由⑥式得|PQ|=b=2psin2θ=4asin2θ,于是sin θ=2ab,

则SOPQ=12(a|FP|+a|FQ|)sin θ=ab2・2ab=aab.

例4 (2007年重庆理科卷)过双曲线x2－y2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线,交双曲线于P，Q两点,则|FP|・|FQ|的值为 .

简解

本题离心率e=2,定点到相应定直线的距离p=b2c=2,且θ=105°，于是由②式得|FP|・|FQ|=e2p21－e2cos2θ=41－2cos2θ=－4cos 2θ=833.

例5

(2008年安徽文科卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.

（1） 求椭圆C的方程；

（2） 已知过点F1(－2,0)且倾角为θ的直线交椭圆C于A,B两点，求证： |AB|=422－cos2θ；

（3） 过点F1(－2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B和D,E，求|AB|+|DE|的最小值.

简解

（1） x28+y24=1.（过程从略）

（2） 用极坐标思路最简单（第二定义次之；直线方程与椭圆方程联立最麻烦但最具一般性，乃是万不得已时的“万能思路”），易知本题中e=22，p=2，于是由③式得|AB|=2ep1－e2cos2θ=422－cos2θ.

在此基础上，

第（3）问就没有什么实质性的困难了，有|AB|+|DE|=422－cos2θ+422－sin2θ，化简后易知θ=π4或θ=3π4时，|AB|+|DE|取得最小值1632.

值得注意，有关试题在2010年及2011年等的考题中不断出现（不同之处仅是有关的关系用向量表示），有关试题详见下面的巩固练习.