漫谈n条两两异面直线的交线性质
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在2010年高考全国Ⅱ理科卷中，有如下试题：
题1：与正方体ABCD A1B1C1 D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点
A.有且只有1个 B.有且只有2个
C.有且只有3个 D.有无数个
关于本题的求解，可以考虑建立空间直角坐标系，求出x，y，z之间的关系，即为点的轨迹方程.可得其轨迹方程为x=y=z，即空间中的一条直线，因此这样的点有无数多个.
实际上，到两条异面直线距离相等的点的集合是“双曲抛物面”，这不禁让我想起1997年全国高中数学联赛的一个关于“双曲抛物面”的试题：
题2：若空间三条直线a，b，c两两成异面直线，则与a，b，c都相交的直线有
A.0条 B.1条
C.多于1的有限条 D.无穷多条
本题得到许多专家的肯定，认为“颇为有趣”，源于这道试题表明了如下的性质：
命题1：与两两异面的3条直线都相交的直线有无穷多条，且除个别点外，过这三条直线上任一点的交线存在且唯一（参阅命题3）.
前年，笔者曾联系直纹曲面，探讨了n (3n≥)条两两异面的直线的交线性质，如交线是否存在？若存在，是否唯一？等等，特别是用中学几何方法，讨论了一些在一般几何书尚未涉及的问题，得到一些有趣的结果.下面先给出与上述问题有关的直纹
π都有两族无穷多条母线，每一族母线都可组成相应曲面.
（2）过曲面上每一点，每一族母线有且只有一条通过.
（3）每两条同族母线不共面.
（4）每两条异族母线必共面.
（5）经过曲面上每一点有且只有两条母线.
（6）曲面1π的同族3条母线不平行于同一个平面，而曲面
π的同族3条母线平行等于同一个平面.
命题2说的是曲面上两组异面直线性质（可用解析法证明），这些性质为命题1提供了实际例子，同时，它们在建筑学上也是有用的.那么，反过来，任给两两异面的n (3n≥)条直线是否存在一个曲面1π或曲面
π（3条平行于同一个平面）通过这3条直线，而且和这3条直线都相交的直线组成了相应曲面的一族母线（最多相差两条母线）.
分析一：把交线看作两平面交线，这样把作交线的几何方法解析化即得.
证明一：分两种情形：
任给两两异面3条直线a，b，c.
1.a，b，c不平行于同一个平面时，建立空间仿射坐标系（如图1），其中Ox，Oy，Oz为平行六面体
C，，，
再设(0 0)Pt，，为直线c上任意一点，现求过P和a，b，c都相交的直线τ的方程.
τ必是过P，a和P，b所确定两平面的交线，设
BB（相当于0t =或1t =的情况）组成了曲面②，也就是说它们恰好是曲面②的一族母线.
2.当a，b，c平行于同一个平面时，建立仿射坐标系（如图2），面 Bm，，，
又设直线c上点(01)Pt，，，则不难求得过P和a，b，c都相交的直线方程PM为：
③，消去t得二次曲面方程2π：(1)0(0 1)mxzmyzmym??+=≠，④，当0t =时，交线为直线 2π直截了当地表明为直线组成，提供了从另一角度研究它们的性质的可行途径.
分析二：在证一坐标下，利用直线在二次曲面上条件，用待定系数法证之，（详证略）.
分析三：根据两线共面条件，我们可利用行列式和齐次线性方程组讨论证明.
证明三：在证一的坐标系下，仍分两种情形.
如证一中图1，直线a为过(1 0 0)A，，方向向量坐标为(0 1 0)，，，b为过
C，，方向向量坐标为(1 0 0)，，，c为过(0 0 0)D，，方向向量为(0 0 1)，，，设与此同时a，b，c都相交的直线τ的定向向量为()e m n，，，()P xyz，，为τ上任意一点，据两线共面条件有：
依第3行展开得一个关于emn、、的齐次线性方程组，
e m n、、不同时为0，
n n≥条情况可归纳为4条情况，我们有：
命题4：与4条两两异面的直线a，b，c，d都相交的直线可能不存在：若存在，可能有1条，2条或无穷多条.
分析：设与a，b，c都相交的直线为τ，由命题1，则问题归结为研究d与τ是否相交，据命题3，问题又可归结为研究过a，b，c的二次曲面与直线d公共点个数，这样，就转化成直线方程与二次曲面方程公共解的个数，详证不再赘述.
至此，已用解析法从正面完全解决了我们提出的交线存在唯一性问题，值得指出的是上述证明，完全未直接引用有关直纹曲面性质，这也体现命题3证法一的独特效用；下面，再谈谈仅用中学立几方法就可推得的一些有趣结果，这些结果也似未在一般立几参考书出现过.
命题5：（4条异面直线定理）存在4条两两异面的直线，使得没任何直线能与它们同时相交.
证一：（如图3），取正方体
DD两两异面，我们用反证法证明这4条直线适合命题要求，假设存在一条直线τ与这4线都相交，τ和1AC交于E，现将整个图形绕
1AC旋转0
∩，而且τ′仍与这4条直线都相交，这样，四条两两异面直线的每条直线都有两点在τ与τ′确定的平面上，这与4线两两异面矛盾，命题得证.
这个证明十分巧妙运用了旋转变换，简捷直观解决了一个中学数学看起来难以入手的问题.再一次揭示出正方体的一个美妙性质，让人赏心悦目，值得谈一谈的是这个证明有深刻重要的背景：即任
BC必不相交（详证略）.
这个证明构思也十分巧妙，充分体现了研究立几的基本思想方法——平面化.
命题6：任给两两异面3条直线a，b，c，设mnp、、与它们都相交，则：
① a，b，c平行于同一个平面等价于mnp、、平行于同一个平面；
② a，b，c不平行于同一个平面等价于mnp、、不平行于同一个平面.
分析：①可用平移法或梅涅劳斯定理的空间推广证之.
②可用反证法.
命题7：存在无穷多条两两异面直线，使得和它们都相交的直线也有无穷多条.
分析：利用命题6①及同一法.
命题8：任给3条异面直线a，b，c，一定存在直线d满足：
①a，b，c，d两两异面；
②没一条直线和a，b，c，d都相交；
③d有无穷多条.
分析：分情况（1）当a，b，c平行同一个平面时，利用命题6①；（2）当a，b，c不与同一个平面平行时，可参照命题5的证法二用平面化思想证之.
对命题6，7，8这些乍一看难以入手的命题，其实可以利用命题2，3，4所采用的解析法证明，但是几何证明一方面渗透了解几思想，体现了指导作用，同时又直观形象，易被中学生接受，从而丰富了中学教学内容.联赛命题者的用心、问题的背景值得我们领会学习.本文一些内容，可作为高中课外兴趣小组活动内容，对开拓学生知识面，提高能力有一定作用.