聚焦中考概率综合题

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概率试题的常用数学模型是袋中取球、排序、放球入箱、摸纸牌、转盘、掷骰子、投币等.近年来，各地中考试题中相继出现了有关概率为载体的数学综合试题，这类试题往往融代数、几何、统计与概率于一体，更能考查学生综合运用知识解决问题的能力.下面举例说明.

一、概率与方程

例1 有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程1-axx-2+2=0有正整数解的概率为.

分析：本题是等可能条件下的概率和解方程的综合题.解题思路是将分式方程转化为整式方程，在此过程中有可能会产生增根，注意剔除增根，然后运用列举法求出使分式方程有正整数解的概率.

二、概率与不等式

例2 有3张扑克牌，分是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．

（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s-t|≥1的概率．

（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字的和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？

分析：本题将求概率与不等式知识挂钩，可用列表或画树状图法计算概率，解决问题的关键在于既不重复也不遗漏地列出或画出所有可能的结果.（1）通过画树状图（如图1）可知，共有9种可能结果.而满足不等式|s-t|≥1的结果有6种，故P=69=23.（2）由树状图知，A方案：P（甲胜）=59；B方案：P（甲胜）=49.所以选择A方案甲的胜率更高.

三、概率与函数解析式

例3 有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同三张卡片正面的数字分别为-1，-2，3．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．

（1）写出k为负数的概率.

（2）求一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限的概率．

分析：该题将一次函数的知识与求概率有机结合，它可通过表格或树状图清楚地表示出问题所有的可能性，从而使问题顺利解决.

四、概率与代数式的值

例4 小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈的手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．

（1）求x+y的值.

（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．

分析：本题取材于生活实际，具有现实性和趣味性.准确求出代数式x+y的值是解决（2）的关键.

五、概率与几何图形

例5 四条线段a，b，c，d，如图2.a∶b∶c∶d=1∶2∶3∶4.

（1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）.

（2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．

分析：此题是一道关于三角形三边关系的应用、尺规作图、计算概率相结合的问题.选择三条线段作三角形其依据是三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.问题.（1）略；对于问题（2），四条线段选取三条共有4种情况：a、b、c；a、b、d；a、c、d；b、c、d.所以能作出三角形的概率为34.