黄金椭圆与黄金双曲线的对偶性质

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通常，我们称离心率为 5 1+

黄金椭圆与黄金双曲线有很多奇妙的性质.本文约定所讨论的椭圆方程均为

，，它们的焦距为

.为突出两曲线间美妙的类比关系，我们要条件是

；（2）双曲线为黄金双曲线的充要条件是

2

=，椭圆为黄金椭圆.（2）类似可证，从略.

定理2 （1）椭圆为黄金椭圆的充要条件是

2）双曲条件是

.

=，椭圆为黄金椭圆.似可证，从略. F BC是正方形，四边形OA O

A作x轴的垂线交CB于点D，则四边

是黄金矩形(图1)；（2）

（2）类

定理3 （1）过黄金椭圆的右焦点

线交椭圆于点B，过点B作x轴的平行线交C，过右顶点则四边形形四

1 F作x轴的垂线交双曲线于点B，过点B作x轴的平行线交y轴于点C过右顶，点A作x轴的垂线交CB于点D，

bac

BFcOF aa

OF BC是

正方边形OADC是黄金(图2).证明 （）由定理2得

==OADC是黄金矩形.，故四边形

====，

故易知四边形OC为方形.为

bac

BFcOF aa

，

是黄

（1）设黄金椭圆的右顶点、上顶点与左焦点分别为∠=°；（2）设黄

金双曲线的右顶点、焦点分别为虚轴上端点与左A，与

证明 （1）如图3，黄金椭圆的右顶点、上顶点与左焦点分别为，与)，由定理2知，向量和

?

()

，，，所以

与（1）类似如图4所示，过椭圆>的中心O作一直径CD，弦PQ与CD平行，M，连接OM得椭圆的另一直径AB，我们称AB，CD为

共轭直径，同时称共轭弦.易证椭圆的任一条直径必平分其共轭弦.

共AB，CD的斜都存在时率，设点M，P的坐标为

P xynm++，由中点坐标公式知Q的坐标为

两式相减可

所以，若椭圆为黄金椭圆，则有

?，反之亦然.这个过程可以移植到黄金双曲

定理5 (1)若黄金椭圆的一对共轭直径存在斜

斜率之积等于离心率的相反数；（2）若黄

率，则其

金双曲线的一对共轭直径存在斜率，则其斜率之积等于离心率.

现在来证明

定理6 （1）过黄金椭圆上不与顶点重合的任一点

??；（2）过黄金双重合的任一点的切线的斜率为

?.

证明 （1）在等式两边对，由定理1知过黄金椭圆上不与顶点的切线斜率为

2222x求导，得

?.

定理7 （1）点是黄金椭圆上不与顶点重合的

P

任一点，点P在x轴上的射影为点M，椭交）点P

金双曲线上不与点重合的任一点，点P在x轴上的射影为点M，双曲线在点P处的法线交x轴于点N，则

证明 （1）如图5所示，设点的坐标为

.由定理6知椭圆在点的法线的斜率

，法线方程为

=.

（2）如图6所

定理6知双曲线的法在点P线的斜率

，法线方程为

参考文献

[1] 方玮.关于“黄金椭圆”性质的注记.数学通讯，2009（4）：18