“放”“收”结合培养学生数学素养

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目前，在人教版课标教材中，“公因数和最大公因数”不再是“因数与倍数”单元系列知识之一，而是编排在“分数的意义和性质”单元的“约分”教学第一课时。由此，教材编排者的意图可见一斑——精简数论初步知识，降低教学难度。其中有关求最大公因数的要求是“能找出两个自然数的公因数和最大公因数”。在课标教材中，无论是求最大公因数还是求最小公倍数，都删去“短除法”，采用一一列举“找”的方法。

教材编排了两道例题。通过例1的学习，学生可以理解公因数的含义。通过例2的探索，掌握用一一列举找公因数和最大公因数的方法，最后通过不同形式的练习，形成技能。这一改进大大降低了学习的难度。然而，通过几年的实践我们发现，这样的编排导致学生找公因数、公倍数的速度慢，约分、通分慢，直接制约了学生的后续数学学习。更为严重的是，这样的编排缺乏思维的空间，各个层次的学生自始至终只需一一列举，没有创造性地探索、发现和提炼找最大公因数和最小公倍数方法的机会。

在课标调整教学要求后，如何帮助学生形成后续学习所必备的技能，并促使学生在形成技能的过程中发展思维？我们认为，本课的教学不仅要让学生经历规律探究和概念形成的过程，学会基本的找最大公因数的方法，还要通过分类分析，发现求两个数的最大公因数的一些特殊情况，让学生逐步对数与数之间的关系形成一定的敏感性，掌握“从较小数开始举例”去解决“大数中的问题”（从简单入手解决复杂问题）的研究方法。

因此，在专题研讨中，我们设计了以下教学片段——

片段一

一、出示：4和18，你能找到这两个数公有的因数吗？

学生独立尝试，教师巡视并收集学生的典型思路。

二、呈现资源

⑴4的因数：1、2、4；18的因数：1、2、3、6、9、18；4和18公有的因数：1、2。

⑵4的因数：1、2、4；4和18公有的因数：1、2。

三、交流

这两种方法你能看懂吗？

指出方法一：一一列举。

方法二：是怎么想的？为什么不先写18的因数呢？

同桌讨论，体会较大数18的因数多，较小数4的因数少，因此写出较小数的所有因数再从中找出与较大数的公因数操作比较简便。

指出方法二：写小找大。

小结：我们找两个数公有的因数时，可以用一一列举和写小找大的办法。

方法二与方法一有何相同与不同处？你喜欢哪一种？为什么？

交流，体会两种方法的实质均为一一列举，其中方法二列举更简便。

……

经历基本的一一列举后，教师启发学生在理解基本原理的基础上优化列举方法，为学生形成技能、提高运算速度提供了可能，避免了教材降低难度后学生数学技能的削弱。同时，在算法优化的过程中，学生经历了比较、分析、提炼、概括等数学思维过程，思维的抽象程度也得以提升。

在学生比较熟练地掌握了“写小找大”求最大公因数的基础上，我们引导学生研究特殊关系的数的最大公因数，以期进一步发展学生的思维能力，强化数学技能。

片段二

一、感受

请你在30以内举例，找到两个数的最大公因数。

学生独立尝试。

仔细观察你举的这些例子，有什么发现？和同桌说说。

教师巡视，收集学生各种不同的发现。

展示资源1：（1，3）＝1，（11，15）＝1，…

追问：为什么最大公因数会是1呢？

资源2：（4，12）＝4，…

两个数之间的确存在一些特殊关系。到底有哪些特殊关系呢？它们的最大公因数又是怎样的呢？

二、分类

（出示若干卡片）能找出和刚才一样的例子吗？

学生独立分类，写在作业纸上。

1.呈现一级分类资源：

第一类：最大公因数是1。

（1，3），（1，10），（3，7），（8，9），（11，13），（7，18），（15，16）…

第二类：最大公因数是较小数。

（3，9），（4，12），（10，20）…

观察第二类中的各组数，说说两个数有什么关系？最大公因数是多少？

板书结论：倍数关系，最大公因数是较小数。

2.尝试二级分类：

剩下的各组数最大公因数都是1，什么样的两个数的最大公因数会是1呢？你能不能根据两个数的关系把它们分分类呢？

学生独立尝试分类。加工中清晰分类：1和任意自然数，两个质数，两个连续自然数，一质数一合数（非倍数关系）。

追问：为什么这四种情况它们的最大公因数就一定是1呢？

……

这样，学生在掌握了找最大公因数的基本方法之后，又提炼了“写小找大”的巧妙方法，继而探寻出特殊关系的数最大公因数的求法。经过恰当的训练之后，学生的技能得以形成，为后续学习打下了良好基础。

值得注意的是，以上两个片段的探究中，教师均采用了“放”与“收”结合的教学方式实现双向互动和动态生成。无论是一一列举与“写小找大”方法的探究，还是特殊关系数的最大公因数的判别，教师都舍得放手，每一个学生都有机会独立思考、亲身尝试——这就是所谓的放。因为放得落实，学生的学习主体性得到充分彰显。他们独立思考，呈现出多种解法，为紧随其后的收提供了丰富的教学资源。当然，在这里，放是为了收，放是收的基础。在呈现了学生的半成品资源后，教师通过对资源的捕捉、判断、调整，促进新的生成，又通过师生的交互反馈使教学一步步深化——这就是所谓的收。片段一的交互反馈中，教师重点捕捉两种不同的找最大公因数的方法，沟通两种方法之间的联系，在初步掌握一一列举的基础上提炼出“写小找大”方法；片段二的交互反馈中，教师重点捕捉两级分类的资源，理清特殊关系（互质及倍数）数的最大公因数的判别方法。正因为收得艺术，才充分体现了课堂教学的数学味，收的过程有从算法探究到算理追寻的思维递进，有从聚类探寻一般方法到分类研究特殊方法的推进。整节课层层递进，步步深化。

与此同时，在每一次的放与收之间，学生充分经历了研究过程，其间建立了材料感知—比较分析—归纳概括和提炼抽象的方法结构。而从全课来看，学生先聚类分析找到一般方法—— 一一列举及“写小找大”，再分类分析探究出特殊关系的数的最大公因数的判别方法。以上两个层面的研究与学习方法结构均可以迁移到“最小公倍数”一课。因为公因数和公倍数是一个整体，在单元内具有清晰的知识结构和方法结构，所以可以采用“长程两段”式的教学策略——在整个单元的知识结构、特有的育人价值思考与开发的基础上，将每一结构单元的教学过程分为教学结构和运用结构两大阶段。将公因数作为教学结构自主推进的过程阶段，将公倍数作为运用结构阶段，引导学生自主学习，激发学生的研究意识，体现规律性知识的教育价值。

晚近以来，探究教学风生水起，然而，课堂经常只看见学生探究，没有老师正正经经的对数学规律和方法的总结，导致课堂走味严重。本课的学习，我们既放又收，落实了“四基”。学生充分经历了数学探究的活动过程，既落实了基础知识，强化了基本技能，又感悟了数学思想方法。

（作者单位：株洲市教育科学研究院）