农村经济发展中的信贷风险的数学模型分析

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摘要：在我国，增加对农村等贫困地区的贷款已经成为近年来提高贫困地区的生产力和生活水平的一项重要政策。本文依据信贷理论，建立了相关的数学模型对信贷理论实际应用进行了检验，对农村家庭投资生产提供理论依据。最终得出的结论显示，信贷风险的减轻有益于农村生产力、生活水平以及平等性的改善。

关键词：信贷理论；投资；风险

1.前言

本文的目的在于检验在发展中地区家庭基础农业生产背景下信贷和风险的保护 理论的支撑。特别的，提出了在单独信贷在多大程度上能带来生产力，消费水平，以及程式化的家庭农业生产模型下经济不均衡的持续改善。另外，给出了这些问题对政策的重要性，比较了信贷对已获得的生产风险的保险的影响。为了检验这些结果，我用了一个简单的 含有不确定性的动态模型，这个模型中包含了家庭选择投入多少“现金”，消费多少，储存多少。首先，当家庭面临一个固定的借款约束和一个高风险的时候，设立一个基准。然后，允许家庭在能够还款的基础上最大限度的借款，检查消费水平和生产力的分布，以及按照原始人口分布和限制的极限分布下的不同过渡周期的生活质量。第二，比较了有限制的通过公平保险下的风险减少下的高风险的标准。

2.模型的建立

在每一个时期 ，观察家庭的现金资源水平（记作 ）。 为前期的财力储存总额，回报率为 ，当前收入为 。收入依赖于前期的风险投入，记作 。家庭选择他们的消费量 ，和他们对现在资源是分配 或 。这就是说，家庭拥有和管理他们的农场，资金可以用来消费和投资，这些取决于 。因此，一个“时期”，是一个实现 农业上季节增长回报的必要时间。

在家庭期望生活长久以及关心他们的下一代未来的生活效益的时代效用下，将产生一个适当的无限生命。在保证唯一的固定分配条件下，预先吸引贫穷家庭状态的可能性已经被划去。尽管如此，一部分家庭在特殊物质变更上不同程度的坚持带来了收益不平等。贫穷状态 表示低收益水平以及未来某段时间的消费。

为了聚焦农业家庭的决定，这里假设一个固定输出价格和定额利率 ，这样就可以忽略一般平衡。这也保证了结果的可比较性。本文的框架暗示低的边际生产力不能借款给高的边际生产力并期望被偿还。更甚的是，信用在一个固定的利率上扩展， 就像当前在这种信贷项目下的典型状况。

商用一个固定的比例系数 描述拥有的地产，每单位 的平均生产力没有投入的（ ）的情况下是正的并且等于 。收益服从外生的随机扰动 ， 时期的 投资导致 时期的收益为：

这说明 含有递减的边际回报 ， 是平均利润，所以不收拘束的，风险中性的生产者经常选择利用在正的水平上。在详述之后，在 的任何正的水平利用第一次序随机支配的原则，在0水平之下收益的分布。这是危险的，但是，感觉的是在于由于 的值太小，可能达不到它的成本（性质6）。

假设2：随机变量 是一个离散的分布，当 时， 的平均值为1，随着时间是独立同分布的。

注意假设1和假设2发现，因为 ，而且商在某时期可能选择 ， 是个非本质无用的不暗含0的输出量。我们捕捉到的事实是，现金投入对于传统农业生产不是必要的。这也保证了家庭更乐于借款，因为他们可保证对所有的 ，都有 ，当 时则未必。最后，上述表明对 的回报很好的与潜在的收益风险联系起来。然而，因为现金投入的利用提高了收益的均值和方差，保证了协方差固定在 不变，在不影响家庭风险承担的情况下，你可以观察 利用的水平。这样，就可以在差异的风险厌恶中分离出信用限制的纯粹影响。

假设3：未来的折扣比率在 和 情况下。

大家熟知的“急躁假设”表明的是在现行的利率下家庭会不时的借款如果可能的话。尽管在二选一的情况下，家庭可能希望在 较低的水平下借款，他们将快速的积聚财产以至于在任何流动性约束下他们能够很快的终止捆绑。而且，随着家庭不确定的积聚财产的趋势，将不会存在固定的分布。

假设4：效用被临时分离，个别时期参数选择表现为瞬间效用函数 ，它含有瞬间边际效用函数和以下的性质：

(i) 是连续的，非负的，严格递减的凸函数

因为 ，Xu和Carroll指出，当 时（这里 是依赖于 的极限），家庭不会选择借款。这是因为那么做意味着在将来时期的零消费的可能性是积极的以及维修他们的债务的必要性。所以，甚至在不受约束的情况下，家庭将自愿限制他们的借款。然而， 和 不是常量，但是依赖于 ，因此在 上。以上表述了是否受约束情况下的主要性质的不同。

从 年开始，家庭持有一定水平的现金 ，家庭临时决策问题为：

约束条件(16)是控制 变量状态发展的转变等式。

在借款不是一种权力的情况下，我们附加一个约束条件:

通过Stokey和Lucas著名的结论，我们得出了符合约束问题的Bellman方程：

令 ，那么给出了最佳消费条件和 的欧拉方程如下：

式(20)和(21)都有三个条件。第一个条件当借款限制是不绑定的 ，或者 时，它在每个式子中都是适用的。资源 在 时期的临界值将等于在 时期的临界值， 资源临界值的期望等于 资源临界值的期望。第二个条件当 和 时，它在两个式子中是适用的；这里借款限制绑定 但不是所有的资源都被消费。每单位的日常消耗与 的当前投资直接交替换位。第三个条件在资源水平相对于期望未来现金流很低情况下适用的，那么这对消费所有的资源和当前阶段的任何投资的控制是最佳的。另外，我们限定它的包络是 。

不幸的是，在这种模型下你得不到有趣的分析结果，理论的预测只能通过特殊的参数设置上的数值求解找到。

以下结果保证了如果欧拉方程的一个解被找到，那么它是(15)的唯一解。

定理1.在假设1-5下，在没有借款限制的条件下 ，欧拉方程的解为：

在解决之前，必须详细说明功能窗体和 的分布。 假定一个持续不变的风险关系假设 效用函数：

这在解释结果上时很有用的，因为家庭改变财产水平对风险厌恶的影响将和其他的影响相分离。最终，本文详细说明了 的下列功能形态，它和假设2是一致的：

这里的这个切断将满足假设3（ ）。为了直接的探究没有借款约束的影响，考虑“不受约束”的问题，在（19）已陈述， 时没有约束。这样家庭就可以在确保偿还的基础上最大限度的借款。考虑真实世界中扩展信用的困难，这看起来可能有点不可能或者理想化，这里的目标是在家庭真正不收约束的情况下，模拟有效的信用防备限制的影响。在这种情况下行为规则可能有本质上的不同，这可能也会导致由于借款限制存在的可检测的牵连，它是迄今为止难以捉摸的。

这个“不受限制”模型将模拟“有效率的”信用的影响，这里贷款必须在生命的最后偿还（在全部时段中利息必须全部被支付）。不允许暂时状态的偿还；也不允许市场要求的暂时状态的全部的还是部分的复制，同样不允许出现不正式的信用或者破产情况。在“自我抑制”和固定借款约束之间的主要性质上的不同是 家庭能够通过借款筹集超过 的资金使用来提高他们下阶段的最低收益，从而也将会乐于增加借款来消费。因为家庭是缺乏耐心的，这将使得在放松家庭借款限制下支出大于收入的影响趋向恶化。

必须选择特殊参数来解决这个模型。在所有情况下，令 ，它在风险厌恶的多方面研究接近于估计值。令 ，这样就满足假设3。通过提供的三个以农业为主业的农村家庭数据水平对基线参数进行了粗糙的校准。 令所有家庭土地平均的 。首先使用数据来估计确定 和 数量级。 的估计值为 ， 近似为 。这些数值暗示了在 时肥料使用使得高边际报酬适度的快速减少。然而，为了强调对于更高的持久生产力的理论潜能，利用的基线，降低收益开始递减时的速度。给定这些数值后，把 规格化，使在 时平均收益值等于100。这些参数导致了最大利润 为180，这比没有投入的收益的期望值高很多。基线参数暗示最大利润收益为329.5，意味着下阶段的利润为140.5，这是相对高的。因此，投资物资 是有利可图的，但是选择最大利润的 仍需要高的现金费用（180）。这使得下阶段的收益在很大程度上依赖于家庭资产折现率，以至于限制借款的影响更加突出。

令基线参数 ，再次在提供的农村数据的风险水平基础上，在部分保险情况把它减少到 。对于 的切去顶端的正态分布，用12-点近似方法，这意味收益的下限近似为26.4，这是在 时收益的四分之一。在“离开借款”的 情况，这将意味着家庭不会选择低于的下限，近似为-528.2，这比平均收益减少很多。

3.结论

上述结果表明了在扩展农村家庭的信用之前，必须检验可得到的回报数学特征的重要性。对于通过农业家庭的信用的扩展来得到持续不变的利益，比如渐增的投入回报，知识的增加，或其他的补充，或者不能分割的投资以及其他的经济特点，都将会呈现。而且，引入风险缓解项目，相比信贷项目将会更加有益，对鼓励消费水平，生活效益，以及农业家庭中的不平等性都有持续的改进。

参考文献

1、王继东;;探究小额信贷发展中的三个矛盾[J];中国邮政;2010年01期

2、张正佳;田翔;;县域农行服务“三农”及风险防范――对农行湖北英山支行的调查[J];今日财富(金融版);2010年01期

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