策略,变式,本质
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摘 要：本文通过对几个教学案例的展示、分析、随感、改进，展现在例题教学中，教师应该注重解题时的策略调整、变式探究和本质揭示，挖掘问题的内涵与外延，充分地消化吸收，使得例题的教育教学价值实现最大化.
关键词：例题教学；策略；变式；本质；教学价值
高三数学课，以复习课为主，在内容多、时间紧、任务重的现实情况下，很多的概念、定理、公式、知识和方法都需要通过一定量的题目进行有效训练，才能实现教学目标的达成，逐步提升学生的解题能力，因此，解题教学是高三复习教学中不可或缺的一部分. 笔者所在的学校每周一次主备课工作抓得非常实，听课、评课是主备课的重要环节，笔者听了很多教师的课，受益匪浅，但也有教师由于对试题研究得不够，从而进行肤浅地讲解，粗糙地处理，这就弱化甚至失去了试题的训练价值，不仅浪费了教学资源，而且浪费了学生的宝贵时间，造成了教学效果的低下.
策略调整，实现例题的教学价值最大化
为了实现解题目标而采取的方针叫解题策略，它体现了选择的机智与组合的艺术. 解题策略的选择是一种有目的的思维活动，有一定的猜测性和预见性，总之，是对数学问题的途径和方法作出一种总体性的决策. 这种决策不唯一，但都带有指向性，就是指向解题目标，在达到目标的过程中，可机动灵活地进行各种预见性的调整和整合，也可以称为解题的策略调整.
案例1 在“三角形中的有关问题”（高三复习课）一课中，教师甲在讲评例题时呈现了这样一道题目：（2011湖北）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知a=1，b=2，cosC=.（1）求ABC的周长；（2）求cos（A-C）的值. 教师不作任何提示，学生自己尝试解决，教师巡视，约3分半钟后.
教师：请大家谈谈这道题的解法.
学生1：第（1）问直接用余弦定理，由c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4，所以c=2. 所以ABC的周长为a+b+c=5.
教师及时点评了学生1的做法，并询问其余同学能否得到同样的结果（了解学情）. 接着教师投影了学生2第（2）问的解题过程.
学生2：因为cosC=，所以sinC===. 所以sinA==. 又因为a
教师：学生2的解答正确吗？本题的易错点在哪里？
学生3：学生2的解答结果是正确的，我认为易错点是对角A取值范围的限制.
教师：请没有判断出角A为锐角的同学举手.
教师统计出人数为14人，约占全班人数的25%，并再次强调在解三角的有关问题时，求值之前必须先考虑角的范围.
听课随想：案例中，教师甲是位中年教师，有一定的教学经验，他放手让学生做、学生讲、学生评，体现了学生为主体、教师为主导的教学理念，但教师对例题的处理略显匆忙. 笔者认为本题的教学价值还需进一步挖掘，因为对于思维较慢、经验欠丰富的学生，不能够敏锐地洞察到A为锐角，教师应及时捕捉他们的认知冲突，进行有效引导，精心设问，进而推进教学走向深入.
反思改进：为什么要对角A进行判断？因为由sinA=得到的应该是cosA=±，但当cosA=-时，A为钝角，而由a
策略调整1：不判断A为锐角，可以得到cosA=吗？（进一步追问，激发学生的解题热情，积极思考，不断探究，用问题驱动课堂教学的自然生成）由（1）得b=2=c，所以B=C，cosA=cos（π-B-C）= -cos2C=-2cos2C+1=. 此处不去判断A为锐角，也能求出cosA的值，这样处理是为实现过程目标cosA=而进行的解题策略调整.
策略调整2：由1得出的c=2可判断ABC为等腰三角形，如图1所示，我们的终极目标是求cos（A-C）的值. 在图1中，能否构造出角A-C呢？由c>a可知C>A，所以可以作出边AC的中垂线EF（如图2），则∠A=∠ECA，∠BCE=∠BCA-∠A，而cos（A-C）=cos（C-A），问题（2）的另解如下. 设EC=x，则BE=2-x，BC=1. 因为B=C，所以cosC=cosB. 在BEC中，cosB===，解得x=，即EC=，BE=，cos∠BCE===，所以cos（A-C）=.
解三角形的有关问题时，在运用三角函数的基本公式和解三角形的基础知识的同时，也要善于抓住三角形的图形特征，这样才能打开思路，探寻出更多的解题途径. 解题时，应紧扣解题目标，引导学生及时、有效地调整解题策略，实现例题教学价值最大化.
变式探究，实现例题的教学价值最大化
对典型例题进行改造和变式时，教师应有目的、有意识地去引导学生从“变”发现“不变”的本质，即“形”变“质”不变，再从不变的本质中寻找解题共性的规律和方法，这样就可以融会贯通学生所学的知识，达到举一反三，触类旁通，知一题能知一类题的目的.
案例2 教师乙在复习“直线和平面平行、垂直关系的证明”时（高三二轮复习课）选用的题目：如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 已知AB=A1A，D为CC1的中点，O为A1B与AB1的交点.
（1）求证：AB1平面A1BD；
（2）若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.
对于（1），证线面垂直有哪些定理或公理使用呢？就本题而言有什么思路？
（引导学生回顾有关的定理和公理，由学生思考解决）以下为学生的解法思路.
思路1：如图4，连结AD，B1D，OD. 易证A1BAB1，再通过证ADC≌B1DC1得DA=DB1，又O为AB1的中点，所以ODAB1. 因为OD∩A1B=O，所以AB1平面A1BD.
思路2：如图5，连结OD，取AB的中点M，连OM，CM，先证CM平面ABB1A1，得CMAB1，再证OD∥MC，所以ODAB1. 易证A1BAB1，又OD∩A1B=O，所以AB1平面A1BD.
图5
对于问题（2），
思路1：如图6，取A1O的中点F，先证EC∥FD，再运用线面平行的判定定理可证得EC∥平面A1BD.
思路2：如图7，连B1C交BD于点F，因为DC∥BB1，所以==. 又=，所以=. 所以OF∥EC. 又OF？奂平面A1BD，EC？埭平面A1BD， 所以EC∥平面A1BD.
本题也可在图5的基础上连结EM，通过面面平行证线面平行（证明略）.
听课随想：教师乙对本题的研究很透，分析讲解到位，通过一题多解，调动学生积极思考，多角度探究证明，达到了对线面垂直、线面平行的判定和性质定理的巩固及灵活运用.但立体几何的教学其实更主要的是培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，笔者在教学中经常碰到一些学生空间感较弱，识图的能力较差，会做也只是表象，例如问题（1）中的线面关系，如果把三棱柱平放，或者对三棱柱进行割、补，就会产生新的情境，他们就不能很快地寻找到证明思路，这就需要教师善于思考，设计一些形异质同的题目加以训练，达到真正知一题解一类题的目的.
反思改进：基于这样的目的和设想，笔者设计了如下的变题.
变题探究1：如图8，已知ABC是正三角形，A1A，CD都垂直于平面ABC，且A1A=AB=2a，DC=a，O是BA1的中点. 证明：（1）AO平面A1BD；（2）OD∥平面ABC.
图8
分析：图8是把图3中的三棱柱沿着平面A1BD割去一个几何体而得到的，所以这道题的解法和例题如出一辙. （证明略）
若在图3中，再补一个和正三棱柱ABC-A1B1C1一样大的棱柱，对条件稍加修改，可设计出一道探究性试题.
变题探究2：如图9，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°， E为线段BD1的中点，M为线段CC1的中点，当的比值为多少时，DE平面D1MB？并说明理由.
图9
分析：参照例题的思路2，连结EM，连AC交BD于点O，要证DE平面D1MB，需要证DEBD1，DEEM，而要证DEBD1，在BDD1中，只要满足BD=DD1，又BD=AD，所以可以探究出=1.
若将变题探究2中的条件“底面ABCD为菱形且∠BCD=60°”改为“底面ABCD为正方形”，如图10，则可探究出=.
图10
通过变题1和变题2的训练，可实现多题归一，让学生感受在图形割、补的变化中，把握不变的思路和方法，学会解题，善于解题，提升例题的价值. 教师要善于变式教学，通过变式教学训练学生的基础知识、基本技能和思维能力；通过变式掌握一类题的解法，则会以少胜多，而且能培养学生的探索精神和创新才能，凸显例题的教学价值，良好的教学效果也会立竿见影.
揭示本质，实现例题的教学价值最大化
有效的教学活动应该是以“揭示数学本质，发展思维能力”（李善良语）为目标的，在数学教学中，要努力揭示数学的概念、法则、结论的发展过程和本质. 在解题教学中，也要把数学的思想方法、本质规律及本源性的东西揭示出来，让学生进行内化，形成解题能力.
案例3 在一节“求函数最值”的专题复习课上， 教师丙选用一道高考题：（2008江苏）在三角形ABC中，若AB=2，AC=BC，则三角形ABC的面积的最大值为________.
教师引导：求最值有哪些常用方法？结合本题图形分析，应该从哪个角度着手求最值？（学生自主探究，很多学生能结合图形思考，设边BC长为x，建立了三角形面积关于x的函数，再求函数的最值）留给学生一定的时间，当堂解决问题，待大多数学生有了结果后，投影两位学生的过程，笔者经过整理如下.
解法1：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得SABC=AB·BCsinB=x·，由余弦定理得cosB===，所以SABC=x=，由三角形的三边关系有x+x>2，x+2>x， 解得2-2
教师赞赏了学生的做法，并指明本题考查了三角形面积公式、余弦定理的知识，以及函数思想. 同时强调，解决函数最值问题，不能忽视定义域的求解.
教师：对于本题，很多同学从“数”的角度着手，是否也可以从“形”的角度着手呢？
教师引导后，相当多的学生还是没能从坐标法入手. 为了避免教学时间的流逝，教师很无奈地讲起了解法2.
解法2：（坐标法）如图11，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则有A（-1，0），B（1，0）. 设点C的坐标为（x，y）（y≠0），由题意可知，=·，即（x-3）2+y2=8（y≠0）. 所以点C在以（3，0）为圆心，半径r=2的圆上（与x轴交点除外），而AB=2为定值，所以当yC=r=2时，SABC的最大值为2.
听课随想：教师从“数”“形”两个角度来引导学生思考解题，优化了解题方法，渗透了数形结合的思想，应该说学生能从两种解法中有所获益. 但教师在引入坐标法的时候不够自然，情境设计缺乏合理，因为本题的三角形既不等腰也不等边，更不是直角三角形，而是一个动态的三角形，所以学生不容易从建系的角度思考. 解法2在学生的眼中只是一种好方法而已，相当一部分学生不能运用“坐标”这一有用的工具，解法1才是他们解题的首选，借助于解三角形的知识才是他们解题的落脚点，那些构思巧妙的解法，学生只有“欣赏”，却不能变成自己的东西，更不能内化成自己的解题能力，为什么会有这种现象呢？因为教师把坐标法生硬地抛给了学生，并没有探寻本题之源，揭示例题的本质.
反思改进：在三角形ABC中，AB为定值，=不变，而C为动点，所以ABC的面积也随之而变，最大面积的产生是由C点的变化而引起的. 那么动点C的轨迹是什么？求轨迹一般如何操作呢？设计这样的问题串，可引导学生从最值产生的根源来探究，从而顺其自然地引入坐标法，解法2中所求的圆也称为阿波罗尼斯圆.
苏教版《数学·必修2》第100页习题2.2（1）探究·拓展第10题也是与阿波罗尼斯圆有关的一道题：已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？求得的结果是以C（-1，0）为圆心，以r=2为半径的圆，即（x+1）2+y2=4（图略）. 2008年江苏13题其实就是源于课本高于课本的一道好题，体现了命题者的大智慧.
有关阿波罗尼斯圆的考题在高考中曾多次亮相，如2005年江苏卷第19题、2006年四川卷第8题，2008年江苏卷第13题，通过这些题的呈现，让学生感知高考，原来高考题来源于课本，来源于真实的课堂.
当学生获知了数学概念、结论产生的背景，提炼出其中所蕴涵的思想方法之后，认知上便有了新的生成，这种生成会整合到自己的知识体系中，形成解题经验并内化为解题能力.通过这样的教学设计，揭示了试题数学本质，这样的教学学生怎么会只停留在“欣赏”的层面上呢？欣赏的同时也能真正地掌握数学知识和解题方法.这样的教学处理不仅挖掘出了试题的教学功能，而且提升了试题的教学价值.
高三数学复习教学抓得很紧，学校往往很重视阶段考试的成绩，导致教学进度快而不细，复习的内容多而不实，教学不应该只是重结果轻过程，也不应该只是重外显的数学知识轻内隐的数学思维. 例题教学也是如此，不能一味地快节奏、大容量，急功近利，这样反而得不偿失，因此教师要不断地研究试题，研究教法，善于引导学生做好解题前的分析，解题中的探索，解题后的反思. 一道典型的例题就是一道营养丰富的“滋补大餐”，我们应该细细咀嚼、美美品味、纵联横拓，注重解题时的策略调整、变式探究和本质揭示，挖掘问题的内涵与外延（当然要遵循教学大纲，准确把握其度），充分地消化吸收，使得例题的教育教学价值实现最大化！绝不能就题论题，造成资源的浪费与教学效果的低下.