等差、等比数列及其前n项和

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇等差、等比数列及其前n项和范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

重点难点

这部分内容由等差（比）数列的定义、通项公式及其前n项和公式组成，主要考查运算能力，公式和性质的灵活运用能力以及递推转化能力. 在客观题中，突出考查基本量（首项、公差或公比、通项公式、前n项和）的求解；在解答题中，常以等差（比）数列（或可以化归为等差（比）数列的关系式）为背景，重点考查其证明、通项、求和以及与函数、方程、不等式等其他知识的交汇问题，难度一般为中等或中等偏下.

重点：理解并掌握等差（比）数列的定义，能判断或证明等差（比）数列；熟记等差（比）数列的通项、求和及其变形公式和相关性质.

难点：等差（比）数列的定义的理解和判断；等差（比）数列的通项、求和及其变形公式和相关性质的记忆与灵活运用.

方法突破

1. 等差（比）数列及其前n项和的基本解题思路

（1）方程法：将an与Sn统一表示为a1和d（或q）的方程（组），以求其基本量（五个基本量中，通常先求出a1和d（或q），然后再求其他的基本量）.

（2）函数法：利用函数的思想解决数列问题，如等差数列的通项、求和公式可分别表示成an=kn+b（一次函数），Sn=An2+Bn（不带常数项的二次函数）（n∈N？鄢）等.

（3）性质法：运用等差（比）数列的相关性质解题，常可整体代换，回避单个求值. 较为常用的如：若a，b，c成等差，则2b=a+c；若a，b，c成等比，则b2=ac；若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（或aman=apaq）（n，m，p，q∈N？鄢），Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差（比）数列. 需要指出的是，等差、等比数列的性质具有对称性，因此可用类比的思想理解和记忆. 等差数列和等比数列可以相互转化，等比数列的性质可以用等差数列的性质来推导、理解和记忆.

2. 等差（比）数列及其前n项和的基本解题策略

（1）通项公式的拓展应用：若数列{an}为等差（比）数列，则an=am+（n-m）d（an=amqn-m）.

（4）求最值的方法有：①函数法（作图观察）；②分界法（如在等差数列中，若a1>0且d

典例精讲

（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=3a3，a10=14，则S12=______.

（2）（2013年北京高考）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=______；前n项和Sn=________.

思索 这是高考等差（比）数列中最基本的一类题型（求基本量），通常用方程法求解，但用等差（比）数列的性质进行转化常常更为简便. 因此，解题时首先要看能否利用性质，如若不能，再考虑普通方法.

（1）（2013年浙江金华十校联考）已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S8是数列{Sn}中的唯一最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是____.

（2）（2013年新课标Ⅱ高考）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为______.

思索 本题考查等差数列前n项和Sn的最值的处理方法. （1）由前面所述解题策略第四点中的分界法可求得，亦可用二次函数的方法来处理. （2）由等差数列基本量的关系可求得nSn的表达式，可利用导数的方法求解最值，这是一道比较新颖的数列的最值问题，充分体现了数列与函数的联系和差别.

破解 （1）法一：由题意可知a80，即a1+70，解得-8

（1）求数列{an}的通项公式及Sn；

思索 （1）将等差数列中的项a1，a2，a4均用a1和d来表示，结合等比中项公式建立方程，解出a1和d，即可求出其通项. （2）在有关前n项和的问题中，有两个新数列的前n项和的问题，分清数列的类型和基本量尤为关键，并且问题中穿插了一点放缩的技巧. 它是一个考查知识点全面，但难度不大的数列问题.

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）.

（1）证明数列{an}为等差数列，并求其通项公式；

思索 （1）证明数列为等差（比）数列是高考中的常见题型，通常由需要被证明数列的“暗示”，将关系式进行转化，利用定义法或中项法证明. （2）题中涉及离散型数列的单调性，由单调性求最值.

破解 （1）令n=1，则1・a2=a1+1・2，即a2-a1=2.

由nan+1=Sn+n（n+1），？摇（n-1）an=Sn-1+（n-1）n可得nan+1-（n-1）an=an+2n，即有an+1-an=2（n≥2）.

变式练习

1. 若等差数列{an}的前6项和为23，前9项和为57，则数列{an}的前n项和Sn=_____.

2. 若f（1，1）=1， f（m，n）∈N？鄢（m，n∈N？鄢），对任意的m，n∈N？鄢都有f（m，n+1）=f（m，n）+2， f（m+1，1）=2f（m，1），则f（2013，2014）=________.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

4. 已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15.

（2）求数列{an}，{bn}的通项公式；

参考答案

2. 22012+4026.