直线、平面平行的判定与性质

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重点：掌握线线、线面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面、面面平行，会用性质定理解决线面、面面平行的问题.

难点：线面平行与面面平行在判定中的相互转化使用.

1. 线线平行的三种证明方法

（1）定义：证明线线共面且无公共点.

（2）公理4：证明两线同时平行于第三条直线.

（3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m？圯l∥m.

（4）平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b？圯a∥b.

2. 判断直线与平面平行的三种方法

（1）定义：证明直线与平面没有公共点，直接证明比较困难，可用反证法来证明.

（2）直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：l？埭α，m？奂α，l∥m？圯l∥α.

（3）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 推理模式：α∥β，a？奂α？圯a∥β.

3. 判断面面平行的三种方法

（1）定义：证明两个平面没有公共点，往往采用反证法.

（2）根据判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. 推理模式：a？奂β，b？奂β，a∩b=P，a∥α，b∥α？圯β∥α.

（3）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：a∩b=P，a？奂α，b？奂α，a′∩b′=P′，a′？奂β，b′？奂β，a∥a′，b∥b′？圯α∥β.

1. 线线平行的判定

如图1，已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.

思索 要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证一组对边相等且平行或两组对边分别平行. 利用平行公理证明两条直线平行的思路就是要找准一条与这两条直线都平行的直线来传递.

破解 因为EH是ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=■BD. 又FG是CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=■BD. 根据公理4，FG∥EH且FG=EH. 所以四边形EFGH是平行四边形.

公理4给我们提供了线线平行的一个证明工具. 很多情况下，立体几何问题最终要降维，转化到一个个不同的平面中解决.

2. 线面平行的判定

如图2，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB∥DC. 设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.

思索 要确定点E的位置使得线面平行，则要利用线线平行来完成线面平行的过渡. 因此，要确定点E的位置，关键在于找到D1E与平面A1BD内的哪条直线平行，通过找到两个平面的交线，利用和交线平行则可得到线面平行，从而在这个线线平行的条件下从三角形中找到动点E的位置.

破解 连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN. 因为平面AD1E∩平面A1BD=MN，？摇要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E. 又M是AD1的中点，所以N是AE的中点. 又易知ABN≌EDN，所以AB=DE，即E是DC的中点. 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

直线与平面平行的判定定理主要是用来证明线面平行，证明的关键是在已知平面内寻找到一条直线，使其与平面外的已知直线平行.

3. 面面平行的判定

如图3，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CA=■，AD=CD=1，平面AA1C1C平面ABCD. 若E为线段BC的中点，求证：A1E∥平面DCC1D1.

思索 要证明线面平行通常采用线面平行的判定定理，但是必须在平面DCC1D1内找到一条直线与A1E平行才行. 直接找到这样的线比较困难，可以换个角度用面面平行来证线面平行，其关键是怎样构造一个经过这条直线的平面.

破解 因为AB=BC=CA=■，DA=DC=1，所以∠BAC=∠BCA=60°，∠DCA=30°. 连结AE. 因为E为BC的中点，所以∠EAC=30°. 所以∠EAC=∠DCA，所以AE∥DC. 因为DC？奂面DCC1D1，AE？埭面DCC1D1，所以AE∥面DCC1D1. 因为棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以AA1∥DD1，因为DD1？奂面DCC1D1，AA1？埭面DCC1D1，所以AA1∥面DCC1D1. 又因为AA1？奂面AA1E，AE？奂面AA1E，，AA1∩AE=A，所以面A1AE∥面DCC1D1. 又因为A1E？奂面AA1E，所以A1E∥平面DCC1D1.

4. 线线平行、线面平行、面面平行的转化

如图4，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为三角形SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.

思索一 可判断SG∥平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行，观察图形可以看出，转化成线线平行的证明.

破解一 连结CG交DE于点H，因为DE是ABC的中位线，所以DE∥AB. 在ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG， 所以H为CG的中点，所以FH是SCG的中位线，所以FH∥SG. 又SG？埭面DEF，FH？奂面DEF，所以SG∥平面DEF.

思索二 要证明SG∥平面DEF，只需证明平面SAB∥平面DEF，从而得到线面平行.

破解二 因为EF是SBC的中位线，所以EF∥SB，又EF？埭面SAB，SB？奂面SAB，所以EF∥平面SAB. 同理，DF∥平面SAB.因为EF∩DF=F，所以可得面SAB∥面DEF. 又SG？奂面SAB， 所以SG∥平面DEF.

证法一直接应用线面平行的判定定理来证明；证法二是通过线线平行证面面平行，再由面面平行证线面平行. 在本题的证明过程中实现了线线平行、线面平行、面面平行的转化.

1. 辅助线、辅助面是解决有关线面问题的关键，要充分发挥辅助线、辅助面在化空间问题为平面问题中的转化作用. 转化思想在立体几何中具有举足轻重的作用，其主要途径是把立体几何问题转化为平面几何问题来解决.

2. 证明平行问题，一般来说，就是要证线线平行.事实上，线面平行、面面平行都可转化为证线线平行，要注意掌握它们之间的转化关系.

3. 线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系，下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：

在完成证明题时，总是由已知想性质，由求证想判定.

4.两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.

线面位置关系在线线、面面位置关系中是“桥梁”，起到“纽带”的作用. 在高考中以多面体为载体，重点考查空间的直线与直线、直线与平面的位置关系，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析和解决问题的能力.