数列综合应用

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重点难点

本部分内容主要包含等差数列与等比数列的整合问题，数列与其他知识的交汇问题，以数列为背景的创新问题等，其主要考查公式的灵活应用能力、运算能力. 在客观题中，突出考查两种数列的整合问题，合情推理在数列中的应用，新定义问题等；而在解答题中，以中等难度题为主，重点考查数列与其他知识的综合问题，以及探索性问题、实际应用问题等.

重点：熟练掌握等差、等比数列的概念、通项公式和求和公式，熟悉等差、等比数列的性质，培养突破数列综合问题的能力；熟练把握等差、等比数列中的运算技巧，提高运算能力，准确定位解题的方向；善于利用数列知识解决一些实际问题.

难点：数列与不等式的交汇；数列与函数、方程的交汇；与数列有关的创新性试题，如实际应用问题、探索性问题、新定义问题等.

方法突破

1. 解决等差数列与等比数列整合问题的基本策略

等差数列与等比数列整合问题一般与求通项公式及求和问题相联系，可利用通项公式或求和公式将已知的条件转化为这两个数列基本量所满足的方程，通过联立方程组求解. 同时，注意结合等差数列和等比数列的性质，灵活转化条件，建立已知和待求之间的联系，减少运算量，提高解题速度.

2. 突破数列与函数、方程的综合问题的三个转化

数列与函数、方程的综合问题一般与函数的性质与图象、方程的解、数列中的基本运算相联系，解决此类问题需要实现以下三个方向的转化：①函数条件的转化，直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的x换成n即可；②方程条件的转化，一般要根据方程解的有关条件进行转化；③数列向函数的转化，可将数列中的问题转化为函数的相应问题去处理，但要注意自变量取值范围的限制. 对于函数中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或方程有解的条件去解决

3.化解数列与不等式的综合问题的主要方法

数列与不等式的综合问题是近年来高考考查的热点问题，其中大多数以数列的通项或前n项和问题为背景，考查数列中的不等式的证明和不等式恒成立问题等. 求解与数列有关的不等式的证明问题的关键是抓住问题的本质，进行合理的变形、求和，最后进行放缩，从而得出结论. 求解与数列有关的不等式恒成立问题的方法是利用“参变分离”或其他技巧转化为求最值问题去处理，然后再利用对应函数的单调性或基本不等式求最值.

4. 求解数列应用题的三个步骤

数列应用题的求解过程类似于函数应用题的求解过程，一般分成如下三步：①建模，即认真审题，理解实际背景，理清数学关系，把应用问题抽象为数列问题；②解模，即利用数列知识，解决建立的数列模型中的相关问题；③释模，即把已解决的数列模型中的问题还原到实际问题中去，确定实际问题的结果.

5. 解数列创新问题的常用技巧

数列中的创新试题主要包括新定义问题和探索性问题，求解技巧如下：①破解数列新定义问题的关键是理解题中所给的定义，把握其本质，再根据等差数列和等比数列的性质，熟练运用归纳类比、构造、正难则反、分类与整合等数学思想方法解题；②破解数列探索性问题的关键是先分清探索的类型，然后采取对应的策略处理.如条件探索性问题，往往采取分析法，从结论和部分条件入手，执果导因，导出所需条件；结论探索性问题，则需要充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论；存在探索性问题，则先假设存在，导出正确结论或导出矛盾，进而得出结论；规律探索性问题，则需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察分析、归纳类比来探路，最后总结得出需要的结论.

典例精讲