第27讲 直线、圆与方程
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考情分析
直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所增大，主要体现在两个方面：一是在选择题或填空题中考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等；二是在解答题中考查直线与圆的综合问题或是圆锥曲线中的最值与范围、含参数问题以及探讨性问题等，主要考查数形结合、分类讨论等思想.
命题特点
直线与圆在近几年高考题命题中有以下特点：①直线考查斜率的应用较多；②直线与圆的位置关系考查是重点，含参数问题较多；③试题基本上以选择填空为主，直线与圆单个知识点命题可能性很小，相互结合命题较多，多与函数、三角函数、平面向量交汇命题，主要考查数形结合、分类讨论等常用思想.
纵观近两年高考试卷中的直线与圆的命题，考查强度加大.在设计上“新且活而不偏”，这有利于试卷保持较高的信度、效度和区分度.
1. 直线重基础、显方法
例1 直线[l]过点[M（-1，2）]且与以点[P（-2，-3）]，[Q（4，0）]为端点的线段恒相交，则[l]的斜率范围是________.
解析 本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的单调性.
如图，过点[M]作[y]轴的平行线与线段[PQ]交于点[N].则[kMP=5，kMQ=-25].
当直线[l]从[MP]开始绕[M]逆时针方向旋转到[MN]时，倾斜角在增大，斜率也在增大，
这时，[k≥5]，当直线[l]从[MN]开始逆时针旋转到[MQ]时，
正切函数在[（π2，π）]上仍为增函数，
斜率从[-∞]开始增加，增大到[kMQ=-25].
故直线[l]的斜率范围是[（-∞，-25]?[5，+∞）].
点拨 （1）要注意斜率的两种求法：[k=tanθ=][y1-y2x1-x2].（2）处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为[0，π2，π2，π]两部分分别对应斜率中的非负值和负值.（3）注意转化与化归思想的应用.
2. 求解圆的方程要注意通性通法.
例2 根据下列条件，求圆的方程.
（1）经过点[A（2，0），B（4，0），C（0，2）；]
（2）求过点[A（1，-1），B（-1，1）]且圆心在直线[x+y][-2=0]上的圆的方程；
（3）经过[P（-2，4），B（3，-1）]两点，并且在[x]轴上截得的弦长等于6.
解析 （1）设圆的方程为[x2+y2+Dx+Ey][+F=0]，
则有[4+2D+F=0，16+4D+F=0， ?D=-6，E=-6，F=8.2E+F+4=0]
所以圆的方程是[x2+y2-6x-6y+8=0].
（2）由题意可知，圆心在线段[MN]的中垂线上，又[kAB=-1]且线段[k]的中点为[（0，0）]，
则线段[AB]的中垂线方程为[y=x].
联立得，[y=x，x+y-2=0]
圆心为[（1，1）]，半径[r=（1-1）2+（1+1）2=2].
所求圆的方程为[（x-1）2+（y-1）2=4].
（3）设圆的方程为[x2+y2+Dx+Ey+F=0]，
将P，Q两点的坐标分别代入得， [2D-4E-F=20，①3D-E+F=-10.②]
又令[y=0，]得[x2+Dx+F=0].
由[|x1-x2|=6]（其中[x1，x2]是方程[x2+Dx+F=0]的两根），
[D2-4F=36].③
联立①②③，
解得，[D=-2，E=-4，F=-8，]或[D=-6，E=-8，F=0.]
所求圆的方程为[x2+y2-2x-4y-8=0，]或[x2+y2][-6x-8y=0].
点拨 求圆的方程有两种方法：（1）几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量（圆心、半径）和方程；（2）代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，
3. 直线与圆的位置关系是高考重点，重交汇、重能力
例3 已知向量[m=（2cosα，2sinα），n=（3cosβ，][3sinβ），]若[m]与[n]的夹角为[60°]，则直线[l：xcosα-ysinα][+12=0]与圆[C：（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=12]的位置关系是 （ ）
A.相交但不过圆心 B.相交过圆心
C.相切 D.相离
解析 [m?n|m|?|n|=6（cosαcosβ+sinαsinβ）2×3] [=cos（α-β）=cos60°=12]，
圆心[C（cosβ，-sinβ）]到直线[l]的距离
[d=|cos（α-β）][+12|=1>22=r]，
直线与圆相离.
答案 D
点拨 （1）有关直线和圆的位置关系，一般用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.数形结合法是解决直线与圆位置关系的重要方法.（2）当直线和圆相切时，求切线方程一般用圆心到直线的距离等于半径，求切线段的长一般用切线段、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；直线与圆相交时，弦长的计算用圆心距、半径及弦长一半构成的直角三角形.（3）求经过已知点的切线方程时，要分清点在圆外还是在圆上，并且要注意切线斜率不存在的情况.（4）分类讨论及数形结合的思想在本讲中有广泛的应用，在分类讨论时，应做到不重不漏.
备考指南
（1）明确要素：要明确直线与圆的几何要素，会根据已知条件求直线或圆的方程.
（2）明确思路：要掌握直线方程的各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；明确直线与圆的位置关系的判定方法，尤其注意圆的切线求法.
（3）注意细节：联立直线与圆锥曲线方程后，要注意对二次项系数和判别式进行讨论，要注意直线与圆锥曲线有一个交点和相切的区别.
限时训练
1. 直线[x+3y+a=0]（[a]为实常数）的倾斜角的大小是 （ ）
A.[30°] B.[60°] C.[120°] D.[150°]
2. 已知过点[A（-2，m）]和[B（m，4）]的直线与直线[2x+y-1=0]平行，则[m]的值为 （ ）
A. [2] B. [0] C. [-8] D. [10]
3. 直线[l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0（ab≠0，a≠b）]在同一坐标系中的图形大致是 （ ）
[A] [B] [C][D]
4. 对任意的实数[k]，直线[y=kx+1]与圆[x2+y2=2]的位置关系一定是 （ ）
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
5. 将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点[（2，0）]与点[（-2，4）]重合，则与点[（5，8）]重合的点是 （ ）
A.[（6，7）] B.[（7，6）]
C.[（-5，-4）] D.[（-4，-5）]
6. 已知圆[C：x2+y2-2x=1]，直线[l：y=k（x-1）+1]，则与[C]的位置关系是 （ ）
A.一定相离
B.一定相切
C.相交且一定不过圆心
D.相交且可能过圆心
7. 设[x，y]满足[2x+y≥4，x-y≥-1，x-2y≤2，]则[z=x+y] （ ）
A. 有最小值2，最大值3
B. 有最小值2，无最大值
C. 有最大值3，无最小值
D. 既无最小值，也无最大值
8. 若直线[mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）]始终平分圆[x2+y2-4x-2y-4=0]的周长，则[mn]的取值范围是 （ ）
A.[（0，1）] B.[（-1，0）]
C.[（-∞，1）] D.[（-∞，-1）]
9. 已知圆[M：（x+5）2+y2=36，]，定点[N（5，0），]点[P]为圆[M]上的动点，点[Q]在[NP]上，点[G]在线段[MP]上，且满足[NP=2NQ，GQ?NP=0]，则点[G]的轨迹方程是 （ ）
A. [x29+y24=1] B. [x236+y231=1]
C. [x29-y24=1] D. [x236-y231=1]
10. 曲线[y=4-x2+1（-2≤x≤2）]与直线[y=kx-][2k+4]有两个不同的交点时，实数[k]的取值范围是 （ ）
A. [（512，34]] B. [（512，+∞]]
C. [（13，34]] D. [（-∞，512）?（34，+∞]]
11. 圆[x2+y2+2x+4y-15=0]上到直线[x-2y=0]的距离为[5]的点的个数是________.
12. 设[x，y∈R]，若不等式组 [3x-y+2≥0，x-2y-2≤0，ax-y+1≥0]所表示的平面区域是一个锐角三角形，则[a]的取值范围是_________.
13. 在平面直角坐标系中，定义[d（P，Q）=|x1-x2|][+|y1-y2|]为两点[P（x1，y1），Q（x2，y2）]之间的“折线距离”.
（1）到坐标原点[O]的“折线距离”不超过[2]的点的集合所构成的平面图形面积是________；
（2）坐标原点[O]与直线[2x-y-23=0]上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.
14.设[A=（x，y）|m2≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，B=][（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R]， 若[A?B≠?]则实数[m]的取值范围是________.
15. 已知两点[A（-1，2），B（m，3）].
（1）求直线[AB]的方程；
（2）已知实数[m∈-33-1，3-1]，求直线[AB]的倾斜角[α]的取值范围.
16. 在平面直角坐标系[xOy]中，曲线[y=x2-6x+1]与坐标轴的交点都在圆[C]上.
（1）求圆[C]的方程；
（2）若圆[C]与直线[x-y+a=0]交于[A，B]两点，且[OAOB]，求[a]的值.
17. 已知两点[M（-1，0），N（1，0）]，点[P]为坐标平面内的动点，满足[MN?NP=MN?MP].
（1）求动点[P]的轨迹方程；
（2）若点[A（t，4）]是动点[P]的轨迹上的一点，[K（m，0）]是[x]轴上的一动点，试讨论直线[AK]与圆[x2+（y-2）2=4]的位置关系.
18. 已知[ABC]的三个顶点[A（-1，0），B（1，0），C（3，2）]，其外接圆为[H].
（1）若直线[l]过点[C]，且被[H]截得的弦长为2，求直线[l]的方程；
（2）对于线段[BH]上的任意一点[P]，若在以[C]为圆心的圆上都存在不同的两点[M，N]，使得点[M]是线段[PN]的中点，求[C]的半径[α=90°]的取值范围.