立体几何教学中学生几种意识的培养

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立体几何的教学目标是培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，因此要学好立体几何应注重培养学生的以下几种意识。

一、语言规范意识

数学语言通常分为文字、符号和图形三种语言，在立几教学中要注重数学语言的教学。

1.在立几教学中要规范三种语言

学生在表达立体几何问题时，常常在语言表达上不规范，用文字语言表达时不够严密，如过点A作AEBC，这句话就不严密，因为过空间一点与一直线垂直的直线有无数条，应写成过点A作AEBC交BC于E，即过……作……交于……。因此，在立几教学中应注意这种书写规范性的培养。

用符合语言表述立体几何问题时，应注意符号的准确性。如用集合符号∈、∩、等表述立几问题时，往往应用不正确。因此，在教学过程中应注意符号语言准确性的培养。

在立几中，准确作图有助于解题思路的发现及最终解决，有的学生对作图没有按画图规则作图，这样作出图形往往会给思考问题会造成错觉。因此，在教学过程中，教师在画图时，要讲清图形怎样画，更要讲清为什么这样画，培养学生正确做图的能力。

2.在立几教学中培养学生三种语言间的互译能力

数学语言是数学思维的载体。数学文字、符号、图形语言虽然形式各异，但它们在描述一个定理时本质属性是一致的，因此它们之间可以互译，重视和加强三种数学语言，是学好立几的关键。

例1：对于直线m，n和平面α、β，αβ的一个充分条件是（ ）

分析：本题中涉及的基本线、面关系都是用符合语言表述的，需作适当的语言翻译，弄清题意，才能作出正确的判断。对于A，翻译成文字语言是：两个平面分别于两条垂直的直线中的一条，这两个平面垂直。这显然是一个假命题，对于B。翻译成图形语言可以如图1所示，由此即可作判断：α与β不一定垂直，对于C，用符合语言推理是：

二、类比意识

立体几何是平面几何的延伸，立几与平几既有联系又有区别，通过平几与立几的类比，有助于学好立几。

1.性质类比

立体几何与平面几何有紧密的内在联系。在立体几何里，平面几何的定义、公理、定理等，对于同一平面内的图形仍然成立，但对于非平面图形一些则不能成立。例如：过直线上一点能且只有引该直线的一条垂直在平面内是成立的，但在空间就不成立。过直线外一点能且只能引该直线的一条平行线，在平面内和空间都成立。因此，在教学中，引导学生进行类比，区别异同，从而建立清晰的空间概念，正确掌握空间图形的性质。

2.解题方法类比

立体几何中有些问题的解题方法与平面几何中的解题方法非常相似。

例2.过ABC内一点P，分别引三条平行各边的直线，这些直线分ABC为六个部分，其中三个角形的面积依次为S1，S2，S3，如图2，求ABC的面积S。

例2应用了相似比和等比定理，方法相似。很多立体几何问题，都可以运用这种类比的方法解决。

三、转化意识

转化是学好立几的关键之一，在教学中要注重培养学业的转化思想。

1.在立体几何定理的教学中，培养学生的转化意识

立体几何中许多定理和性质都体现了线面关系转化为线线关系，面面关系转化为线面关系。例如，我们学习直线与平面垂直的判定定理：要判定直线与平面垂直，只要通过判定直线与这平面内两条相交直线垂直，把直线与平面关系转化为直线与直线的关系。

2.在引导学生分析，解决立体几何问题的过程中，培养学生把空间问题转化为平面问题

空间图形的主要元素往往可集中在某一特征平面上，把这一特征平面分离出来，画成原形，作为空间图形的一个“特写镜头”，将焦点都集中到这个镜头上，用平面几何的方法去分析研究，可使问题很快得到解决

例3：α-EF-β是120°的二面角，从其内的一点P分别作PAα于A，PBβ于B，若PA=3，PB=1，求点P到棱EF的距离。

分析：（1）先作出这个距离，过PA、PB作平面交EF于C，则PCEF，所以PC是P到EF的距离（如图3），可证∠ACB是二面角α-EF-β的平面角，即∠ACB=120°，主要元素都集中在平面PAB上，把它分离出来，画出原形（如图4）。

（2）问题转化为平面四边形PACB中的一个平面几何问题了，易证P，A，C，B四点共圆，PC可看出PAB外接圆的直径，由余弦定理得：AB==，由正弦定理得PC==。

空间图形的主要元素往往集中在某一特征平面上，如旋转体的轴截面或侧面展开图，正棱锥的直角三解形，正棱台的直解梯形，都包含它们的主要元素，把特征平面分离出来，作为“特写镜头”，重点去分析研究，即转化为平面几何问题解决。

3.求体积教学中，培养学生等体转化意识。

求距离或体积等问题，利用三棱锥体积自等或等底等高的几何体等积进行转化。

例4：正方体AC1中，E、F是BB1，CD中点，设AA1=2，求三棱锥体积VF-A1ED1。

四、割补意识

“割与补”这种重要的数学思想方法，是把不便于计算的几何体通过割或补的技巧转化为规则的，便于研究或计算的几何体。

五、垂线意识

垂直关系又是各种位置关系的核心，垂直关系与角和距离的求解以及面积、体积的计算等有着非常密切的联系。许多立几问题的“题眼”往往都在于垂直关系。找到或作出平面的垂线，解题思路就变得清晰。因此，在教学中要处处培养学生的垂线意识。

分析（2）：ABBD且平面ABD平面BCDAB平面BCD

过B作BHEC于H，连结AB，则BH是AH在面BCD上射影，∠AHB是二面角A—CE—B的平面角。

注：（2）中关键寻找到AB是面BCD的垂线，作出CE的垂线BH。

在新课程的知识体系中，立体几何是高中数学的重要内容之一，它对学生空间概念的建立、空间思维能力的形成和想象力的发展起着重要作用。因此，在立体几何教学中要重视培养学生的几种意识，有利于学生掌握学习技巧和规律。

（作者单位：浙江省松阳县第一中学）