点态化的模糊粗糙集
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摘要: 给出了Pawlak近似空间和模糊近似空间上点态化的模糊粗糙集的定义，并讨论了它们的一些性质.
关键词: 模糊点；上近似；下近似；模糊粗糙集
中图分类号:O159
文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)05-0366-03
The Pointwise Fuzzy Rough Set
LI Zaorong,ZHANG Zhenliang,LI Faguang
(1. School of Mathematics and Computer Science, Yunnan University of Nationalities, Kunming 650500, China; 2. Oxbridge College, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China)
Abstract: This paper defines the pointwise fuzzy rough set in Pawlak approximation space and fuzzy approximation space and discusses their properties.
Key words: fuzzy point; upper(lower)approximation; fuzzy rough sets
文献［1-3］中，相继研究了粗糙集及其性质，文献［4-6］作者研究了模糊粗糙集及其性质.文献［7］作者给出了模糊点的定义，并研究了点态化的模糊群. 用点态化的方法研究了模糊集的代数结构体现了它的优越性和直观性.文献［8］研究了点态化的模糊关系，本文在此基础上研究Pawlak近似空间和模糊近似空间上点态化的模糊粗糙集.为研究模糊粗糙集的代数结构作了一些准备.
1 预备知识
定义1［9］ 设U是集合，x∈U,λ∈(0,1］，定义U中的Fuzzy点
xλ(y)=λy=x0y≠x（y∈U）,
称xλ为U的一个Fuzzy点，点x称作它的承集.当λ=1时，Fuzzy点即为通常点.
定义2［10］ 设A∈F(U)，称Fuzzy点xλ属于A，记作xλ∈A，如果
A(x)≥λ,λ∈(0,1］.
定义3［6］ 设(U,R)为Pawlak近似空间，A∈F(U)，记
R(A)(x)=inf{A(y)y∈［x］R},
R(A)(x)=sup{A(y)y∈［x］R}.
定义4［6］ 设(U,R)为模糊近似空间，A∈F(U)，记
[JP8](R(A))(x)=∨λ∈(0,1］{λy∈［x］Rλ,[KG*2]R(x,y)∧λ≤A(y)},
(R(A))(x)=∨y∈UR(x,y)∧A(y).
2 等价关系下的点态化模糊粗糙集
定义5［8］ 设A∈F(U)，定义U上的Fuzzy集A［λ］为A［λ］={xλxλ∈A,λ∈(0,1］}
称A［λ］为A的λ－切集.
显然有U={xλx∈U,[KG*2]λ∈(0,1］}；U［λ］={xλxλ∈U}.
从A［λ］与Aλ的定义可得：xλ∈A［λ］x∈Aλ，由此有如下性质
性质1 设A,B∈F(U),λ∈(0,1］，则
1) ABA［λ］B［λ］;
2) A=BA［λ］=B［λ］.
性质2 设A,B∈F(U),λ∈(0,1］，则
1) (A∪B)［λ］=A［λ］∪B［λ］;
2)(A∩B)［λ］=A［λ］∩B［λ］.
性质3 设A∈F(U),λ∈(0,1］，则(Ac)［λ］=(A［1－λ］)c （其中Ac为A的余集）.
引理1［9］ 设A∈F(U)，则x∈U,λ∈(0,1］,A(x)≥λ 时,A［λ］=λA=λAλ.
证明 因为(λA)(x)=λ∧A(x)=λ；(λAλ)(x)=λ∧Aλ(x)=λ；A［λ］(x)=xλ(x)=λ.所以A［λ］=λA=λAλ.
定理1 ［10］ 设A∈F(U)，则A=∪λ∈(0,1］A［λ］.
显然由引理1和分解定理直接可得.
设(U,R)为Pawlak近似空间，A∈F(U)，记
R(A［λ］)={xλ［x］RAλ}R(A［λ］)={xλ［x］R∩Aλ≠}.
由以上定义和R(Aλ)、R(Aλ)的定义显然有
x∈R(Aλ)xλ∈R(A［λ］);
x∈R(Aλ)xλ∈R(A［λ］).
定理2 设(U,R)为Pawlak近似空间，A为U上的Fuzzy集，则
1）R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］);
2）R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］.).
证明 1)(∪λ∈(0,1］R(A［λ］))(y)=∨λ∈(0,1］R(A［λ］)(y)=∨λ∈（0,1］{xλ［x］RAλ}(y)=∨λ∈（0,1］{xλ（y）=λy∈［x］RAλ}=∨λ∈（0,1］{λy∈［x］R}.
则A(y)≥λ} =∧{A(y)y∈［x］R} .
故R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］)成立.
2) (∪λ∈(0,1］R(A［λ］.))(y)[KG-*2]=[KG-*2]∨λ∈(0,1］R(A［λ］.)(y)=∨λ∈(0,1］{xλ［x］R∩Aλ≠}(y)=∨λ∈(0,1］{xλ(y)=λy∈［x］R∧y∈Aλ}=∨λ∈(0,1］{λy∈［x］R∧A(y)≥λ}=∨{A(y)y∈［x］R}
故R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］.)成立.
由此，根据定义3可以给出Pawlak近似空间(U,R)上的切集形式的粗糙集定义如下:
定义6 设(U,R)为Pawlak近似空间，A为U上的Fuzzy集，分别称R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］) 与R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］.)为A的下近似与上近似.称（R(A)，R(A)）为A的模糊粗糙集.
由此可见，Fuzzy集A在Pawlak近似空间(U,R)上的下近似R(A)和上近似R(A)的点态化形式为：
R(A)=∪λ∈(0,1］{xλ［x］RAλ}；R(A)=∪λ∈(0,1］{xλ［x］R∩Aλ≠}.
定理3 设(U,R)为Pawlak近似空间，R是U上的等价关系，A,B∈F(U),λ∈(0,1］，则
1）R（A［λ］）A［λ］R（A［λ］）;
2）若AB，则R（A［λ］）R（B［λ］）；R（A［λ］）R（B［λ］）;
3）R(（A∪B）［λ］)=R(A［λ］)∪R(B［λ］) ;
4）R(（A∪B）［λ］)R(A［λ］)∪R(B［λ］);
5）R(（A∩B）［λ］)R(A［λ］)∩R(B［λ］) ;
6）R(（A∩B）［λ］)=R(A［λ］)∩R(B［λ］);
7）设R1R2,则R1(A［λ］)R2(A［λ］)；R1(A［λ］)R2(A［λ］);
8）(R1∩R2)（A［λ］）=(R1)(A［λ］)∩(R2)(A［λ］);
证明 (i）xλ∈ R（A［λ］） x∈R(Aλ)x∈Aλxλ∈A［λ］即R（A［λ］）A［λ］ .
同理证 A［λ］R（A［λ］）.1)得证.
(ii)xλ∈R（A［λ］） x∈R(Aλ)x∈R(Bλ)xλ∈R(B［λ］)即R（A［λ］）R（B［λ］）成立.同理证 R（A［λ］）R（B［λ］）. 2)得证.
(iii)xλ∈R(（A∪B）［λ］)x∈R(（A∪B）λ)x∈R(Aλ∪Bλ)=R(Aλ)∪R(Bλ)x∈R(Aλ)∨x∈R(Bλ)xλ∈R(A［λ］)∨xλ∈R(B［λ］)xλ∈ R(A［λ］)∪R(B［λ］)即R(（A∪B）［λ］)=R(A［λ］)∪R(B［λ］).3)得证.
(iv)[JP4]xλ∈(R(A［λ］)∪R(B［λ］))xλ∈(R(A［λ］)∨xλ∈R(B［λ］))x∈(R(Aλ)∨x∈R(Bλ)) x∈R(（A∪B）λ)xλ∈R(（A∪B）［λ］)即R(（A∪B）［λ］)R(A［λ］)∪R(B［λ］).4)得证，同理证5）,6）.
(v)xλ∈(R2(A［λ］)x∈(R2(Aλ)x∈(R1(Aλ)xλ∈(R1(A［λ］).
即R2(A［λ］)R1(A［λ］).同理证R1(A［λ］)R2(A［λ］).7)得证.
(vi)xλ∈(R1∩R2)(A［λ］)x∈(R1∩R2)(Aλ)=R1(Aλ)∩R2(Aλ)x∈R1(Aλ)∧x∈R2(Aλ)xλ∈R1(A［λ］)∧xλ∈R2(A［λ］).
即 (R1∩R2)（A［λ］）=(R1)(A［λ］)∩(R2)(A［λ］) .8)得证.
定理4 设R是U上的等价关系，A是U的任一模糊集，λ∈(0,1］，则
1）(R(A))［λ］=R(A［λ］);
2）(R(A))［λ・］=R(A［λ・］).
证明 xλ∈(R(A))［λ］x∈(R(A))λR(A)(x)≥λinf{A(y)y∈［x］R}≥λy∈［x］R,A(y)≥λ［x］RAλx∈R(Aλ)xλ∈R(A［λ］).
同理证2）.
推论1 设(U,R)为Pawlak近似空间，A,B∈F(U)，则A的粗糙集有下列性质:
1）R（A）AR（A）;
2）若AB，则R（A）R（B）；R（A）R（B）;
3）R(（A∪B）)=R(A)∪R(B) ;
4）R(（A∪B）)R(A)∪R(B);
5）R(（A∩B）)R(A)∩R(B) ;
6）R(（A∩B）)=R(A)∩R(B);
7）设R1R2,则R1(A)R2(A)；R1(A)R2(A);
8）(R1∩R2)（A）=(R1)(A)∩(R2)(A).
3 模糊关系下的点态化模糊粗糙集
设(U,R)为模糊近似空间，对于U上的Fuzzy子集A，定义U上的Fuzzy集R(A)、R(A)的λ切集为
(RA)［λ］={xλ［x］RλAλ};
(RA)［λ］={xλ［x］Rλ∩Aλ≠}.
由此，x∈Rλ(Aλ)xλ∈Rλ(A［λ］)；x∈Rλ(Aλ)xλ∈Rλ(A［λ］)
定理5 设(U,R)为模糊近似空间，对于U上的Fuzzy子集A，则
1）R(A)=∪λ∈（0，1］（RA）［λ］;
2）R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］.).
证明 1）[JP6](∪λ∈（0，1］[KG-*2]（RA）［λ］)（y）[KG-*2]=∨λ∈（0，1］[KG-*2](（RA）［λ］)（y）=∨λ∈（0,1］{xλ［x］RλAλ}(y)=∨λ∈(0,1］{xλ(y)=λy∈［x］Rλ则y∈Aλ}=∨λ∈（0,1］{λy∈［x］Rλ则y∈Aλ}=∨λ∈（0,1］{λy∈［x］Rλ若R(x,y)≥λ则A(y)≥λ}=∨λ∈（0,1］{λy∈［x］Rλ,R(x,y)∧λ≤A(y)}.
故R(A)=∪λ∈（0，1］[KG-1]（RA）［λ］成立.
2）(∪λ∈(0,1］(RA)［λ］)(y)[KG-1]=∨λ∈(0,1］(RA)［λ］(y)[KG-*1]=∨λ∈（0,1］{xλ［x］Rλ∩Aλ≠}(y)=∨λ∈（0,1］{xλ(y)［x］Rλ∩Aλ≠}=∨λ∈（0,1］{xλ(y)=λy∈［x］Rλ∧y∈Aλ}=∨λ∈（0,1］{λR(x,y)≥λ∧A(y)≥λ}=∨λ∈（0,1］{λR(x,y)∧A(y)≥λ}=∨y∈UR(x,y)∧A(y).
故R(A)=∪λ∈(0,1］R(A［λ］.)成立.
定义5 设(U,R)为模糊近似空间，对于U上的Fuzzy子集A，记
[JP4]R(A)=∪λ∈(0,1］(RA)［λ］；R(A)=∪λ∈(0,1］(RA)［λ］.
则R(A)与R(A)分别称为Fuzzy集A关于模糊近似空间(U,R)的下近似与上近似.
由此，Fuzzy近似空间上Fuzzy集A的点态化粗糙集的形式为
R(A)=∪λ∈(0.1］{xλ［x］RλAλ} ;R(A)=∪λ∈(0.1］{xλ［x］Rλ∩Aλ≠}.
显然，定理3、推论1等结论可以推广到Fuzzy近似空间，在此不再陈述.
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