导数在高中数学中的应用
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【摘要】导数把初等数学和高等数学紧密的结合，在整个学习过程中充当着纽带、桥梁的作用.在教学解题过程中可以充分利用导数的思想来解决函数问题、切线问题、不等式问题以及实际中的应用问题.
【关键词】导数；应用；高中数学
一、导数的概述
“新课标”在教程的目标、观念上的一个发展就是在数学教学和数学学习中更加强调对数学本质的认识和理解.在“导数的应用”教学中，通过导数对函数的性质进行研究来认识函数的本质.高中数学由必修和选修组成，在所学课程中多处涉及导数方面的问题，足以看到导数在高中数学中占有很高的地位.
在高中学习过程中，学生通过学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等来理解函数的性质.而这些性质都可以通过画出函数图像表示出来.基本初等函数可用描点法画函数图像，而一些比较难的非基本初等函数无法用描点法绘制函数图像.在这种情况下，我们可以用所掌握的导数知识来求一阶导数，并利用其判定函数的单调区间、极值点、最值点，利用二阶导数来判定函数的凹凸区间、拐点，然后利用极限的思想来找出水平渐近线和垂直渐近线，最后再利用描点法来画出较为准确的函数图像.这不仅仅能使学生更好地掌握所学的基本知识，同时扩展了数学思维.
让学生们体会研究导数所用到的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再进一步过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质.这种从局部到整体，再由整体回到局部的思想方法是非常值得学生学习的.
1.函数的单调性
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的.其思维方法有：（1）利用增（减）函数的定义判断单调性.（2）导数法.利用在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立（但f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0）.方法（1）中的化简较为烦琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而利用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握，特别是对于具体函数更加适用.
2.利用导数求极值和最值
最值和极值问题是高中数学的重点，也是一个难点.它涉及了高中数学知识的很多方面，要解决这类问题往往需要各种能力，同时需要选择合理的解题途径和策略.用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，学生也更容易掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念.
一般地，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：
（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；
（2）计算f（x）在端点和极值点的函数值；
（3）比较f（x）在端点和极值点的函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
3.切线问题
在某一点的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但应注意点P（x0，f（x0））在曲线y=f（x）上，否则易错.利用导数求切线问题一般可以分为两类：过一点的切线方程和两曲线切线方程.第一种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，f′（x0）的几何意义就是曲线在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；而第二类用常规方法求解，运算量大，过程特别烦琐，而利用导数知识就为解决这类问题提供了简洁的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解.
4.证明不等式
纵观这几年高考，凡涉及不等式证明的问题，其思维量大、综合性强，因此历来是高考的难点.利用导数去证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或者间接等价转化后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明问题转化为函数问题.
5.讨论方程解的个数
在讨论方程的根的存在性及个数问题上，导数是一个很好的工具，在这一类的问题上关键是将方程的问题转化成函数的零点或者函数图像交点问题，利用导数讨论函数的性质并结合根的存在性定理及函数图像来解决问题.
三、利用导数解决实际应用问题
导数不仅可以解决函数、切线、不等式问题，还可以解决一些实际应用问题.近年来，高考越来越关注对实际问题的考查.
生活中经常遇到求利润最大、效率最高、费用最省等问题，这些问题通常称为最优化问题，我们可以通过导数求函数最值的方法来解决这类问题.导数描述了一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢程度，即因变量关于自变量的变化率.
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x），要注意x的范围.
（2）利用导数求函数f（x）的极值和函数的最值，给出数学问题的解答.
（3）把数学问题的解答转化为实际问题的答案.
导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值.既给学生提供了一种新的方法，又开阔了学生的视野，让学生接触到极限等新的数学方法和数学思想，对数学新的发展将会有进一步的了解.总而言之，导数的开设促进了学生全面认识数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为将来进一步学好微积分打下基础.因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义.