题在课内,意在课外

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课题：正弦定理的应用

内容分析：本节内容是在证得了正弦定理之后利用定理解三角形的一个最直接的应用，也是以后应用正弦定理解三角形的最基础的一个环节，且会出现多解的情况，快速准确地确定解的情况就很重要，也为联合余弦定理解三角形提供方便。

知识与技能：通过本节研究学会运用正弦定理解三角形；并对已知两边及其中一边的对角解三角形的问题在不解三角形的情况下确定解的个数；培养学生的应用意识，分析问题解决问题的能力。

过程与方法：让学生经历三角形的求解过程及结论的生成过程，加强数学的理性思维和应用意识，强化算法思想。

情感态度价值观：让学生由最初级的解的过程过度到运用结论解决相应问题的过程，充分体验研究的成功和快乐，感受数学思想的威力及魅力，增强学习数学的兴趣和积极性。

重点：运用正弦定理数形结合解三角形。

难点：已知两边及其中一边的对角解三形的问题研究。

过程：

一、 例题讲解

例1．（必修5§1.1.1例2）

在ABC中，已知 ， ,解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.

（师生共同解决）

解；根据正弦定理，

0°B180°,B≈64°或B≈116°

(1) 当B≈64°，C=76°,c=30(cm)

(2) 当B≈116°, C=24°,c=13(cm)（教师板书规范的求解过程）

点评：（1）本题条件是已知两边及其中一边的对角解三角形类型

（2）解三角形的前提条件是三角形确定，即，全等条件下三角形均可解。而 SSA不能判定三角形全等，是否这样的条件下，都有两种呢？

学生思考并做课本第4页练习2教师巡视学生的规范描述，（收集学生意见：对角的性质起决定作用）

下面我们结合第8页利用图形对这种条件下的三角形解的情况进行分析：(∠B的解的情况决定ABC解的情况)

当A≥90°时，A是ABC的唯一最大角，故只有当 ＞b时有一解,否则无解。

当0°＜A＜90°时：

（1） 若 ＞b,则A是A,B中的较大角，所以B只能取锐角，故此时ABC有唯一解。

（2） 若 =b,则A=B，所以B只能取锐角，故此时ABC有唯一解。

（3） 若 ＜ ＜b,此时B有两解

（4） 若 = ，此时B有一解。

（5） 若 ＜ ，此时B无解。

利用图象进行直观分析，画出符合条件的图象可以直接确定解的情况。

利用以上结论可在不解三角形的情况下确定解的情况。

二、牛刀小试：（不解三角形判断解的情况）

1、 中，a=20,b=11,B=

2、 中, a=54,b=39,B=

3、 中, b =26, a=15,A=

4、 中, a =15,b=10,A=

5、 中, b =40,c=20,C=

6、 中, b =40,c=10,C=

教师点评进一步提问：你能将刚才的过程设计成算法吗？

三、教师将学生的设计过程完善如下：

第一步，输入a,b,A

第二步，判断A吗？若是，执行第三步；否则，执行第四步。

第三步，判断a＞b吗？若是，输出“只有唯一解”结束算法；否则，输出“无解”结束算法。

第四步，判断a b吗？若是，输出“只有唯一解”结束算法；否则，执行第五步。

第五步，判断 ＜ 吗？若是，输出“有两解”结束算法；否则，执行第六步。

第六步，判断 = 吗？若是，输出“只有唯一解”结束算法；否则，输出“无解”结束算法。

第六步，结束算法。

（请学生画出程序框图快速完成）

四、应用

例2：已知：在 中, a =8,b=7,B= 求c和S

解析：用余弦定理得c=3或c=5，由上述算法程序判断两解都符合要求故，

当c=3时S =6

当c=5时S =10 （学生板演）

点评：对于一些主干知识，工具性知识，应重视对同性同法的提炼，总结运用算法思想，减少思维量，快速准确解题。

五、课堂小结：

已知两边及其中一边的对角解三角形的一般步骤。

数形结合思想，算法思想。

六、作业：略

七、教后记：两解情况下的的标准表述，学生表述问题严重，课堂讨论要到位并落实。

八、板书设计：

正弦定理的应用

例1

已知两边及其中一边的对角解三角形的一般步骤。（算法）

例2

小结