学习一次函数的图象及性质的一些见解及方法
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在学习数学中，“数”与“形”是密不可分的。“数”与“形”是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为“数”和“形”两大部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系称之为“数形结合”，或“形数结合”。作为一种数学思想方法，“数形结合”的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“数形结合”包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
同样，研究一次函数y=kx+b(k≠0)的函数图象及性质。也必须从“数”与“形”两个方面去探索。利用列表、描点、连线三步骤画一次函数图象时，观察分析函数图象，易于发现函数的某些性质。同时，反之也可求出一次函数的关系式。有利于对函数关系式的更深层次的理性理解。
已知两点如何求一次函数的解析式
画一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，如y=2x+3。列表，在平面直角坐标系中描出各点并连线。此时判定（1，5）是否在该函数图象上，（2，8）呢？学生可归纳如何判定点在函数图象上，即将点坐标分别代入函数关系式，若左右两边相等，则在。若左右两边不等，则不在。反之，用待定系数法设函数关系式为y=kx+b，有两个未知数，k和b，则需要已知两点，可求出函数关系式。这里的待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。例如，一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0）的形式，要确定一次函数的解析式，关键就是确定k，b的值，如果已知式中变量x的两个取值和相应的多项式的值，就可以得到两个关于k，b方程.从而求出k，b的值，达到确定这个一次函数解析式的目的。可总结求一次函数关系式的步骤：1、设出函数关系式为y=kx+b。2、将两点坐标代入函数关系式，得出两个关于k和b的两个方程。3、解这两个方程。4、将k、b的值代入y=kx+b 。
例：已知一次函数的图象经过点A（－1，3）和点（2，－3），（1）求一次函数的解析式；（2）判断点C（－2，5）是否在该函数图象上。
解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b
依题意得3=-k+b-3=2k+b
解之得：k=-2 b=1
所以该一次函数的解析式为y=-2x+1
（2）将C（-2，5）代入y=-2x+1左边=5，右边=5。所以左边=右边。
即点C在该函数图象上。
一次函数的图象的位置与k、b的符号关系
一次函数的图象的位置与k、b的符号关系并非让学生死记硬背。而是通过图象利用“数形结合”的思想直观的体现出来。在教学过程中我是这样让学生发现的：
画几个k相同的一次函数图象及一个正比例函数图象。观察它们在平面直角坐标系中的位置关系。如y=2x，y=2x+3，y=2x-4。y=-3x，y=-3x+5，y=-3x-3学生易看出当k相同时，函数图象是平行的。且也可观察到：
当k>0时，图象过一、三象限
当k
那么如何用数来解释这个形呢？可用画图象的步骤去验证：当k>0时，x>0则y>0，所以坐标为（+，+）。当x
对于一次函数y=kx+b，因为与y=kx平行。所以当k>0时，图象过一、三象限。当k
y=kx+b中的b为函数图象与y轴交点的纵坐标。当b>0时，交于y轴的正半轴。当b
所以当b>0时，这无数条直线有一个共同特征，都过一、二象限（y轴除外）。
所以y=kx+b中，
当k>0，b>0时，图象过一、三和一、二象限，即过一、二、三象限。
当k0时，图象过二、四和一、二象限，即过一、二、四象限。
同理，当b
所以，当k>0，b
当k
这些知识，都必须熟练掌握，因为它是解决问题的依据。而通过图象来进行识记是不容易忘记的。
学习一次函数的图象，一定要养成数形结合的思考习惯，把函数和图象结合起来思考，互相衬托，互相解释，互相补充。这样才能将一次函数的图象及性质的知识掌握的牢固，久经推敲。当然要达到将数形结合灵活运用，并非一朝一夕可以达到的。这还需要我们在平时多进行一些渗透，只有在点滴的教学中渗透“数形结合”思想，使学生逐步学会看数想形、看形想数，才能使学生的思维得到飞跃。
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