略论数学学科的入门教学
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【摘要】数学学科的入门教学作为某一数学分科起始阶段的教学，对后继学习过程中学生对知识的理解和掌握起着至关重要的作用，针对入门教学内容的本源性，思维结构的突变性教学的相对独立性和教学效果的易分化性，在入门教学中应遵循使思维结构与知识结构相适应，使入门教学成为有意义教学，是入门教学程序化三个重要原则.重点在发展学生的思维能力是数学教学的重点，也是搞好数学学科入门教学的关键。
【关键词】本源性；入门教学；思维结构； 分化性 ；后继教学
任何学科的入门教学在整个教学过程当中具有相当重要的作用，尤其数学学科作为一种多分科的课程，每个分科的入门教学也具有这种重要性，而平面几何入门教学改革的实验，为概括数学学科入门教学的一般规律提供了依据.本文通过对入门教学在中学数学教学中所占地位与特点的分析，提出了搞好入门教学的原则.会对搞好中学教特别是初中教学的入门教学提供一些依据.
1. 数学学科的入门教学
一般的说数学学科的入门教学是指某一数学学科起始阶段的教学，起始教学阶段由第一节课开始，到能体现出学科基本结构的部分结束.例如，平面几何的入门教学阶段，一般到三角形全等部分结束，立体几何的入门教学，则是指《直线与平面》一章；代数是指《有理数》、《整式的加减》、《一元一次方程》等部分的教学.由于数学学科的划分可以在不同的层次上进行.而作为教学科目的中学数学课程是由不同的数学学科所组成的的综合体；因此数学学科的入门教学，也包括某些章节起始阶段的教学如何排列组合的起始课.
在中学数学中，有不少的性质相同的问题分散在不同的教学科目和教学阶段中，形成了一条又一条知识链.例如，代数中的列方程解应用题，列不等式解应用题，建立函数关系式及利用函数解决的实际问题，三角几何中的某些应用题，解析几何中建立轨迹方程的问题，就是这样的知识链.由于这类问题的起始部分的教学与入门教学有相似的特点，我们也可以把某一知识链起始部分的教学称为入门教学.例如，把列一元一次方程解应用题看成是用方程知识解决实际问题的入门教学.
2. 入门教学的特点
如果我们把入门教学的知识结构，思维结构，教学结构中所占地位做一概括的分析；就可以看出，入门教学有如下特点：
2.1 教学内容的本源性。
从总的知识结构来看，入门阶段的教学内容是一个阶段或一个分科教学知识的基础和本原，因而对后继教学的成败，具有决定性的影响.
2.2 思维教学的突变性。
从思维结构来看，不同的教学分科具有不同的学科结构.在新的教学阶段中，不仅要学习新的数学知识，而且还要学习解决问题的新方法和解题技巧.作为两个学习阶段结合部分的入门教学阶段，就能更强烈的体现出学科结构的变化，因而在入门教学阶段，学生的思维结构必须做适应于这种变化的调整.所以说，入门部分的教学，是学生思维结构发生质变的时期.
教育心理学的研究表明，初中二年级是逻辑抽象思维的质变时期，是中学阶段运算思维能力发展的转折点，或关键年龄，起始，造成这种现象的原因，不仅仅是学生的年龄特征，而且还受到教学内容的重大影响.众所周知，初二年级正是重要的理科教学的入门阶段.所以，上述现象的存在证明了入门教学具有思维结构的突变性的鲜明特点.
2.3 教学过程的相对独立性和起始性。
入门教学标志着一个新的教学阶段的开始.因此入门教学与前一阶段的教学往往没有直接的联系，因而对后继教学又会产生决定性的影响.所以说入门教学在数学教学结构中处于转折点的重要位置.
由于以上三个特点，是入门教学产生了最惹人注目的第四个特点.即
2.4 教学效果的易分化性。
平面几何入门教学中的分化现象已经引起了广大数学教育工作者的关注.其实，这在入门教学中并不是特例，统计资料说明，入门阶段的教学大都是数学教学的分化点或潜在的分化点.那么造成这种现象的原因又是什么呢？
由于入门教学具有相对的独立性和知识的本源性，因此预备知识的缺陷对入门教学的影响实际上远远的小于对一般教学的影响.所以说，造成入门教学困难的主要因素比哦怒视预备知识的缺陷，而是学习能力的不足 和教学中的失误.例如，大家已经公认思维能力的差异是造成平面几何入门教学分化的根本原因，其实这同样是造成列方程解应用题的教学分化的根本原因.由于入门教学阶段学生思维结构的发展处于质变时期，因此如果学生思维结构不能及时调整，而教师又没有给于必要的注意和采取有效的措施，那么就会产生难以克服的困难，最终使学生丧失信心造成学习上的失败.从这里可以看出思维结构的调整确实是入门教学中头等重要的任务.
应该指出的是入门教学的易分化性不止具有消极的意义，分化既说明有一部分学生的成绩会降下来，但也表明有部分的学生成绩会升上去，因此，分化既提出了挑战，又提供了机会.其实入门教学中思维结构与知识结构的矛盾，固然造成了学习上的困难，但更重要的是为思维能力的发展提供了动力.我们知道，所谓思维能力的发展.实际上就是作为它的表现形式的思维基本结构的变化和调整.因此，思维结构的突变期正好是思维能力产生跃进的时机，加之入门阶段的教学具有相对的独立性和学习内容的本源性，因此就容易使成绩不好的学生重新树立新的学习信心.只要处理得当，就可以哈们在学习上产生好的转折.在教学实践中，通过一个阶段的入门教学，成绩较好的学生跃上去的现象比比皆是.了解了这一点，就使我们进一步认识到入门教学的重要性，从而把握住这难得的时机，和学生一起去接受新的挑战夺取新的胜利.
3. 入门教学的原则
从入门教学的特点出发，入门教学应该遵循以下原则：
3.1 使思维结构与知识结构相适应的原则。
在入门教学中，思维结构与知识结构总是不适应的，积极的对思维结构做出调整，是入门教学的根本任务.
例如，在初中代数的入门教学中，应当把提高学生的抽象概括能力促使学生的思维结构从具体的形象思维向经验型的理论思维过渡当作主要任务，并围绕着这一任务组织教学.如再初一代数不等式一章中，针对“若a
表1
a b -3a -3b-3a-3b的大小
正数如3 正数如4 -9 -12 -9 >-12
零 正数如4 0-120 >-12
负数如-3正数如4 9 -12 9 >-12
负数如-3零 9 0 9 >0
负数如-3负数如-1 9 3 9 >3
进而归纳出a-3b的结论.然后再运用不等式的性质，由a-3b的结果.通过这两种方法的对比，不仅使学生确认性质的正确性，而且还看到提高思维的抽象概括水平是代数学习的迫切需要.
对于平面几何的入门教学来说.它的根本任务就在于帮助学生迅速的完成从具体思维到借助于几何直观的抽象思维的过渡，以尽快的形成与平面几何接替结构相适应的思维结构.为此在入门教学中就应当把发展学生的抽象概括能力和推理能力作为重点.同时注意探索能力的渗透，为过渡到平面几何后继教学中对学生思维能力进行综合训练做好准备.
实现思维结构的调整和发展是很艰巨的任务，但是这是提高数学质量发展学生思维能力做必需的途径.有的教师想回避这种必要的调整，他们不惜降低对思维难度与水平的要求，用讲解来代替学生的发现，用模仿代替创造，用记忆来代替思考.由于在入门教学中学习的知识的广度和难度都较低，因而尚能取得较好的教学效果，但是随着教学课程的进展，思维结构与知识结构间的矛盾日趋加剧，终究会阻碍学生在知识和能力上的发展.因此，我们经常发现学习上大的分化点经常出现在入门教学的后期或后继教学的前期.这些是应该引起我们重视的.
3.2 使入门教学成为有意义教学的原则。
美国著名认知教育心理学家奥苏伯尔（D.P.Ausnbel）根据学习材料的内容与学生认知结构的关系，把学习过程分为有意义学习过程和机械学习过程，概括的说有意义的学习就是要能够建立起新旧知识之间的联系.这既要求新知识与原有知识具备建立联系的可能，又要求学生本身又建立新知识与原有能知识结构联系的心向，由于在入门教学阶段的相对独立性与教学内容的本源性，这种联系往往是不明显的潜在的，因此入门阶段的学习最容易成为机械学习.为了避免这种现象的出现，在教学中除了要做激发学生的学习兴趣，树立学习信心以外，还要采取入下的措施：
（1）补缺.在入门教学中，要有计划的补上学生在预备知识上的缺陷，这是搞好入门教学的必要条件.这就要求我们在入门教学正式开始之前，要对入门教学中所涉及到的旧知识进行复习巩固，夯实入门教学的基础.
（2）渗透.在前一个教学阶段及早的位下一阶段的入门教学创造条件提供背景做好铺垫，从而使入门教学由一个良好的基础.例如在代数式的教学中，注意用代数是表示数量关系的训练，为列方程解应用题的教学提供条件.
为了搞好平面几何的入门教学可以在初一代数教学中加强推理论证的训练.《中学数学试验教材》在实验几何和论证几何之间安排了“几何和简易逻辑”，从而为推理论证的教学创造了条件，对于学生思维结构的调整起了促进作用，因而取得了较好的教学效果，所有的这些，都是“渗透”这种教学方式的成功应用.
（3）类比和对比.类比的出发点使事物间的相似性，对比的出发点则是事物间的相异性.类比和对比都是解释新旧知识间的联系的有效方法.例如在教学有理数的运算时，可以与算术中的运算进行类比，在立体几何教学中注意与平面几何知识向类比等等，都是加强新旧知识联系的有效措施.应该着重指出的是，在入门教学中，为了提高新旧知识的可辨性，在比较时要特别注意知识间的差异，如要突出有理数运算中的符号法则，要比较代数方法与算术方法解应用题在推理列式时思考方法上的区别等等.
（4）系统化.任何一门科学总是要通过系统化的方法把已经获得的各种理论知识――概念和原理构成一个严密的科学理论体系.在数学入门教学中可以通过建立知识体系的方法来建立新旧知识间的联系.如在有理数的教学中，列出数系发展表；在立体几何入门教学中，弄清线面关系的分类系统都是典型的例子.
3.3 使入门教学程序化的原则。
这是实现上述两项教学原则的保证，也是设计入门教学具体方案的依据.
（1）在教学内容上要选取最基本最一般最本原的材料，即贯彻不断分化的原则.正如澳苏伯尔所指出的：当学科内容按不断分化的原则加以程序化时，该学科的最一般和最概括的观念应该首先呈现；然后循序渐进的呈现细节和特点.奥苏伯尔的这一观点和布鲁纳课程结构理论，赞克夫“理论知识起主导作用的原则”及“使学生理解学习过程原则”是相吻合的.《中学数学试验教材》重视通性通法的研究，在这一方面也做出了成功的尝试.
根据上述观点可以把学科的基本结构分解成最基本的单元，让学生尽快掌握这些单元进而掌握学科的基本结构.笔者在宁阳一中实习的时候发现，现在流行按题型分类组织教学活动，这应该是不妥当的，这样的做法是形式主义，繁琐哲学的表现，他用非本质的表面的特征来混淆对问题实质的概括，是形成题海战术的根源之一，在发展学生能力的角度来看是不可取的.
（2）在教学程序上，首先要建立起适应新的学科结构的思维框架，要多次的反复不是重复，让学生在这个过程中发现规律.如果再列方程解应用题的教学中，对每一道应用题，都要让学生找数量关系，并习惯通过设未知数进而把未知当作已知的分析方法.
（3）在教学时间的安排上，要尽早的让学生进入入门教学的核心部分，尽早的让学生了解学科的基本结构，必要时可以暂时放弃非关键部分的知识，要考虑到反复的应用是巩固和深化知识的最有效的手段.因此不能老师停留在一个教学层次上，因为学生对新知识还不熟练而停滞不前.另一方面，对于核心部分的教学，却要放慢教学进度，让学生自己能体会理解掌握基本的方法和思想.例如笔者在实习期间在三角函数积化和差公式入门教学中，采用了提早进行推理论证训练放慢教学进度，让学生自己体会公式推导的技巧和思想，并多次让学生运用公式解决实际问题的措施，许多基础比较差的学生都能熟练的掌握该公式的推导与运用，还有的学生自己用同样的方法巩固了自己以前并不熟练的正余弦公式，取得了良好的效果.可见，正确的入门教学方法不仅能培养学生良好的思维能力还能培养他们对数学的学习兴趣与激情.
4. 入门教学对后继学习的影响
显而易见，入门教学的作用就是引导学生从旧的学习层面走向新的学习层面，其中当然步伐对新知识的掌握，然而发展学生的思维能力才是搞好数学学科入门教学的关键.入门教学实施学生进入另一种知识层面和思维方式的关键，对后继学习的重要性不言而喻，然而入门教学的重要性不仅表现在对后继教学具有深远的影响上，更表现在式培养学生思维能力的大好时机上.无论是应试教育还是素质教育，针对目前教学中忽视能力培养的倾向，这样提出问题和分析问题就更具有其现实意义.
参考文献
［1］ 林崇德编著《智力发展与数学学习》 科学出版社
［2］ 江苏省邗江县教研室 《初中数学分化点的初步调查和分析》
［3］ 邵瑞珍等 《略论课堂学习的性质与基本过程――澳苏伯尔有意义言语学习理论评介之一》华东师范大学学报1982年第6期
［4］ 孙瑞清《平面几何教学中关于几何逻辑和论证的实验》 数学通报 84年第4.5期
［5］ 张乃达，王左芬《突出学科的基本结构，发展逻辑思维能力――平面几何入门教学的尝试》
［6］ 张乃达，王左芬《思维能力的综合训练――略论平面几何入门以后的教学》
收稿日期：2011-11-09