算特值 看共性 观察猜想假证明
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解题“牛人”许志锋,男,中学高级教师,台州市“教学能手”,拥有20余年高三教学经验,参加过教育部国家级骨干教师培训并被授予合格证书。
爱好:解数学题。曾多次参加全国数学问题有奖征答活动并获奖。
从前几期的讲解中我们看到,高考中函数和数列的解答题常以不等式的形式出现. 不等式问题的本质就是比较大小,所以解题时要讨论变量的范围(定义域、值域)和函数的单调性,研究数列的通项或递推关系的特点和变化趋势,也即研究函数和数列的整体性质,这是解题的“大道”;同时,也需“另辟蹊径”,通过作图和计算特殊值找思路,在“合理解答”之前先进行“合情猜想”. “算特值,看共性,观察猜想加证明”就是解决不等式问题的要领.本期我们选择了两个更有挑战性的问题,看看大家能否学以致用,从容应对.
例1(2009年高考数学全国卷(Ⅱ)第22题) 函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1.
解析: (1) 显然函数的定义域为(-1,+∞). 由f(x)有两个极值点可知,f′(x)==0,即方程2x2+2x+a=0(*)在定义域内有两个不相等的实根. 令t=x+1,则t∈(0,+∞),问题即转化为方程2t2-2t+a=0有两个不同的正根, Δ=4-8a>0,t1•t2=>0,解得0
求解方程*,可得x1=,x2=. 由于f′(x)=且1+x>0,故f(x)的单调递增区间为(-1,x1)和(x2,+∞);同理可知f(x)的递减区间为(x1,x2),其中x1,x2分别是f(x)的极大值点和极小值点.
(2) 由第(1)问得x2=,则第(2)问就是要证明当0(①)成立(思路一). ①式显然过于复杂,看来这种思路需要变通.
我们看到,f(x2)中含有a,x2两个变量,思路一是用a表示x2,然后代入;若利用2+2x2+a=0这一关系,用x2表示a(思路二),又将如何?这时,要证明的结论为:-(2+2x2)ln(1+x2)>(②),其中x2=. 0
显然思路二比思路一要简单不少,但证明的难度仍然不小. 常数的意义首先就是一个难点,它究竟从何而来?让我们仔细看看②式,左边是关于x2的函数g(x2)=-(2+2x2)ln(1+x2),其中x2∈-,0. 尝试将区间端点代入,得到g(0)=0,g-=-2-2•-2-1ln1-=. 这一结果一下子揭示了问题的本质:原来题目就是要证明当x2∈-,0时,g(x2)>g-,这只要证明g(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)在区间-,0上递增就可以了! g′(x)=2x-(4x+2)ln(1+x)-=-(4x+2)ln(1+x),易知当x∈-,0时,g′(x)>0, g(x)在区间-,0上递增,第(2)问得证.
【评注】 我们总是先确定不等式中变量的取值区间,然后通过讨论函数在该区间上的单调性来证明不等式. 这样解题的“灵感”往往源于我们对该区间上的函数极值或区间端点处的函数值的计算,如例1中g-的值正是要证明的不等式右边的常数.同样的策略在前几期讲解中也时有体现. 在第9期问题的解答中,通过作图,我们发现只要f′(0)≤a就可以使得对于任何x≥0均满足f(x)≤ax,然后才着手来证明这个猜想.例1的解答过程再次印证了特殊值的计算对全局的作用,正所谓是“四两拨千斤”.
例2已知函数f(x)=,数列{an｝,{bn｝满足a1>0,b1>0.当n≥2时an=f(an-1),bn=f(bn-1). (1) 确定a1的取值范围,使得数列{an｝单调递增;(2) 若a1=3,b1=4,数列{an｝,{bn｝的前n项和分别为An,Bn. 求证:1≤Bn-An
解析: (1) 若{an｝单调递增,首先有a2>a1,即>a1 (a1>0),解得a10)可知, f(x)是增函数. 如果a2>a1,则有a3=f(a2)>a2=f(a1),即a3>a2;同理可得a4>a3,…,所以要使得{an｝单调递增,只要a2>a1即可,于是a1的取值范围为0,.
(2) 要证明关于和的不等式,必须先研究各项的变化规律,为此我们先计算{an｝,{bn｝的前几项.
由表1可知,{an｝从小到大趋近3.5,{bn｝则从大到小趋近3.5,3.5就像是一道“坎”.这是为什么?通过前面的讨论我们可以发现,当首项在区间0,内时数列递增,在,+∞内时数列递减;由f(x)=4-为增函数且f=可知,当a1∈0,时,以后各项也均在0,内. 已知a1=3,于是有an∈0,. 同理可知, b1=4, bn∈,+∞, bn-an>0. 又 b1-a1=1, An-Bn=(b1-a1)+(b2-a2)+…+(bn-an)≥1成立.
要证明(b1-a1)+(b2-a2)+…+(bn-an)
如何证明bn-an≤n-1呢?由于数列{bn-an｝没有通项公式,只有递推公式,我们可以改证bn-an≤(bn-1-an-1) (n≥2)成立. bn-an=4--4-=(bn-1-an-1),所以只要证明≤,即(an-1+1)(bn-1+1)≥18即可. 根据前面的讨论,an-1≥3,bn-1≥,而(3+1)+1=18,因此不等式得证.
【评注】例2第(1)问的解答是从解a2>a1开始的,结合f(x)的单调性,发现只要前两项递增就会使整个数列递增. 而第(2)问的证明思路与第12期中处理的方法基本相同,要领都是把常数看做一个等比数列前n项和的极限. 当然,这种解法的前提是通过对前几项的观察和计算,发现问题中的数列“不是等比,神似等比”!略有不同的是,第12期的题中我们已知数列的通项公式,可以直接证明所给数列的项与我们自定义数列的项之间的大小关系;而例2中已知的是递推关系,我们就改证bn-an≤(bn-1-an-1),因为这个关系经过迭代同样可以得到bn-an≤n-1. 由此可见,解题绝无所谓万能的通法,能因题之变化而变通,才是解题的“王道”.