延拓 Vasicek模型参数估计

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［摘 要］基于延拓vasicek 模型，提出了一种有效的参数估计计算方法。这种方法将通过给定某一期限零息债券市场报价来实现对于时间函数的参数估计。

［关键词］零息债券 最小二乘法 三次样条

一、引言

近几年来，经济和金融的领域中，短期利率的模型被广泛地应用。这是因为短期利率模型能够很好的刻画瞬时短期利率的变动规律。正是这个原因，目前有很多的短期利率模型的被提出。同时这类的模型很好地被应用到一些利率的衍生品的定价，如：债券、利率互换、利率的远期合约等利率衍生品。

Vasicek（1977）建立Gauss扩散的短期利率模型。但这个模型有一个不如人意，瞬时的利率有可能是负值。Coxetal.（1985）（CIR）建立根均值的短期利率模型。相对Vasicek，在参数满足Feller条件下，CIR模型的瞬时利率是正值。但这两个模型都是考虑参数是常数。参数是常数可能不适合市场的数据。众所周知，市场的利率是有期限结构的性质。而常数的参数，很难刻画出这种性质。Ho和Lee(1986)提出部分参数是时间的函数，但是在Ho和Lee模型中，波动率仍然是一个常数，也就是在任何时刻波动率是常数。这种想象也有点违背市场的数据。因此，Hull和White（1990）延拓了Vasicek模型和CIR模型，

在Hull和White模型中，所有的参数都是时间的函数，并在他们的文章，利用这两个模型对于利率互换的产品定价分析。进一步，Rogers（1995）在理论上分析Hull和White模型。

而在这篇文章中，我们将根据市场的数据来估计Hull和White（1990）延拓的Vasicek模型。考虑这个模型是因为这个模型有很好的分析性质，特别是应用到定价其他的利率衍生品。

二、模型

首先，假设短期利率r在风险中性测度下满足如下的随机微分方程：

（1）

其中， 均为时间函数，为标准的Brown运动，设如果是常数时候，（1）是Vasicek模型。

基于（1），在时间 时刻，到期日 支付为1单位的零息债券价格有如下表达式，

（2）

其中，E（••）表示条件数学期望，表示为在t时刻的观察值。如果是一个常数时，基于Vasicek模型（2）有解析表达式，这些结果可以参考Hull（2009）以及姜礼尚等（2008）。考虑到参数是时间时候，Rogers(1995)也证明（2）有显示的表达式。

根据Feynman-Kac公式，在鞅的测度下，（1）适合下面的微偏分方程，

（3）

众所周知（3）有一个仿射结构解，

(4)

其中，。也就是在到期日零息债券价格为一个单位。即使，和有解析的表达式，但他们是多重积分计算问题（参考Rogers(1995)）。因此，我们把这类问题归结为求方程的问题。

基于（4），满足下面的常微分方程

（Model 1）

其中，其终端条件 (Model 1)能够被发现在Hull和White（1990）。

相应Model1的离散格式，设其中为了简化说明，设Model 1的离散格式为：

（5）

其中，（5）终端条件，

基于（4），债券价格为

（6）

其中，。因此，对于不同的到期日，（6）能算出其相应的价格。

我们的问题是在给定市场零息债券价格下，估计Model 1中的参数，首先，假设在t时刻观察到零息债券价格。理论上，当 T足够大时候，我们能估计未来任何时刻的参数值，事实上，市场上的零息价格期限是有限，因此我们将讨论基于离散的市场数据来估计依赖时间函数的参数。

其次，在我们的计算方法中，需要计算理论的价格和市场价格的残值，这里我们将使用常微分方程计算。即使债券价格有显示表达式，但它是一个三重积分计算问题，这就可能产生离散的误差。使用偏微分方程计算时有显著的误差（看图1）。

图1基于Vasicek模型通过常微方程和偏微分计算零息债券价格数值解与精确解的比较，这里假设参数是常数，基于Vasicek模型，当r比较小时，常微分方程的数值解比较好，这归因于计算其偏微分方程时，其在r大于零的值依赖于r小于零的值。另一原因在于偏微分数值结果依赖对空间变量r的离散误差。而常微分方程数值解仅依赖t，r是一个外在的变量。

三、参数估计计算方法

为了简化问题我们假设当前时刻，进一步我们假设有N个市场价格这就意味着到期日相同的债券有不同价格，这个根源于初始利率的不同，这个假设隐含着，市场上债券价格通过同一个模型而得到的。

进一步我们假设，市场价格满足如下方程

（7）

其中，被称为理论价格，表示理论价格和市场价格之间的误差，直接求解（7）可能是不适定，这个归因于理论价格可能是非线性的形式解而且市场价格报价存在误差。这就导致来自（7）的解可能是不适定的，因此，我们可以把问题转化为求下列极小值的问题

（8）

其中，表示所在领域，求（8）极小解，，可通过非线性最小二乘法，如果直接求解（8）时，对于至少有一个值是不能被计算，这个依赖于求解理论价格时离散格式。因此我们将通过三次样条差值来计算端点的问题。

四、实证结果

我们使用美国国家债券每天交易市场数据，这篇文章所有使用的数据都来源于www.ustreas.gov.由于其报价是通过收益率曲线来实现，因此需要通过现值表达式转化为债券的价格。设，当前时刻t，在T时刻其相应在收益率曲线上收益率为 ，那么其相应的零息债券价格为

（9）

如：t=0，y=0.015，T=5，其债券价格为0.92774.

我们考虑2009年整年的到期为5年债券每天数据 ，同时我们限制所有参数取值落在

1.另一类方法是正则化方法，这种方法不仅仅可以解决端点的问题，而且处理参数光滑性的问题，我们将在今后研究中将使用这类的方法估计参数。

2.选择美国国家债券数据由于这类债券几乎是无风险债券，而对于一般债券数据由于隐含违约风险因素，可能不满足我们所考虑的模型。

3.该收益率曲线刻画是实际收益率而不是名义收益率。

区间[0,1]。对于初始利率将适应美国国库券到期为一周的每天收益率为初始利率。

表1列出基于Model 1参数估计结果，这里我们假设离散的步长 在表1中最后一列的数据通过三次样条插值得到。通过观察

表1：这个表格描述Model 1的参数估计数值结果，最后一行是（8）的残值，所有的数据都乘以100。

数据，对于所有的数据变化大约或不超过0.1%，这就表明参数有足够的光滑性。

为了测试算法的稳定性问题，我们在收益率和初始利率上添加扰动项，即：

（10）

（11）

其中是待定常数，是均值为0方差为1的正太分布的随机变量。

在表2中，我们列出了RMES的值，通过观察表2中数据，对于初始利率相对于初始的收益率数据更加稳定，根均值误差几乎没有什么变化，虽然对于初始的收益率变动其根均值有微小的变化，但这样的变化整体来说是可以接受的，如我们预期的一样，我们的计算方法是稳定。

五、结论

我们主要考虑基于零息债券价格估计Model 1的参数，其中参数是依赖时间函数。我们所使用方法是众所周知的最小二乘法。端点的处理通过三次样条插值计算而得到。通过数值结果可知，基于债券市场数据，参数估计值是稳定的，同时参数的估计值的光滑性比较好。

参考文献：

[1] O. A. Vasicek, An Equilibrium Characterization of the Term Structure,Journal of Financial Economics, 5 (1977): 177-188.

[2] J. C. Cox, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross, A Theory of the Term Structureof Interest Rate, Econometrica, 53 (1985): 385-407.

[3] T. S. Y. Ho and S. B. Lee, Term Structure Movements and Pricing InterestRate Contigent Claims, Journal of Finance, 41, (1986): 1011-1029.7

[4] J. Hull and A. White, Pricing Interest-Rate-Derivative Securities, The

Review of Financial Studies, Vol. 3(4) (1990), 573-592.

[5] L. G. G., Rogers, Which model for term-structure of interest rates shouldon use? Mathematical Finace, 65, 93-116, 1995

[6] J. C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives (7th ed.), PrenticeEducation, Inc., 2009.

[7]姜礼尚，徐承龙，任学敏，李少华等，金融衍生产品定价的数学模型于案例分析，高等教育出版社，2008

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