与W(0,1)相关的不动点代数的某些结构问题
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作者简介：徐秀芳（1985.6―）汉族，贵州师范大学数计学院09级硕士研究生，研究方向是李代数。
摘 要：主要研究了与W(0,1)相关的不动点代数（以下记该代数为“代数M”）的中心扩张。首先，通过W(0,1)来构造出代数M；其次，通过计算讨论了代数M的中心扩张。
关键词：不动点代数；中心扩张
1 引言
众所周知，Virasoro代数Vir在数学、物理的许多领域具有广泛的应用［1］。它可以看成是圆环S1上的(实)向量场构成的李代数Vect(S1)的复化的泛中心扩张
［Lm,Ln］=(m－n)Lm+n+δm+n,0m3－m12c
(1.1)
其中c是中心。Virasoro代数具有很多有意义的推广和扩张，例如WN－代数［2］，W1+∞－代数［3］，高秩Virasoro代数及扭Heisenberg－Virasoro代数等。
近来，高寿兰等在研究李代数W(a,b)的低维上同调群时讨论了一类李代数W(0,1)的相关结构问题。
本文在此基础上构造了与W(0,1)相关的不动点代数M，并通过计算确定了代数M的中心扩张的一些性质。
本文分别用Z和C记整数集和复数域。
2 代数M的构造
根据不动点的定义，可先建立映射τ，从W(0,1)到它的不动点代数M，τ的具体作用如下：
τ(Lm)=－qmL－m+qmcm2I－m τ(Im)=qmIm m∈Z
其中q,c∈C。 令Am=Lm+τ(Lm) Bm=Im+τ(Im)
则可构造出以{Am,Bm|m∈Z}为基的W(0,1)的不动点代数M。
通过扩积运算可得下列关系式：
［Am,An］=(m－n)Am+n－qn(m+n)Am－n+qncn2(n－m)Bm－n
(2.1)
［Am,Bn］=－(m+n)Bm+n+(n－m)qnBm－n
(2.2)
［Bm,Bn］=0
(2.3)
特别地，
A0=0
(2.4)
A－m=－q－mA－m+q－mcm2Bm
(2.5)
B－m=q－mBm
(2.6)
Bm=1cm2(Am+qmA－m) 0≠m∈Z
(2.7)
将(2.7)式代入(2.1)式，化简得
［Am,An］=(m－n)Am+n+m2n－mqnAm－n+n2n－mqmAn－m m≠n,m,n∈Z
(2.8)
3.代数M的中心扩张
3.1 中心扩张的定义
设是任意一个李代数。上的双线性函数α:C称为2-上循环。如果对任意的x,y,z∈，下面两个条件成立
α(x,y)=－α(y,x)
(3.1.1)
α(x,［y,z］)+α(y,［z,x］)+α(z,［x,y］)=0
(3.1.2)
任意一个线性函数f:?C，都可以诱导一个2-上循环αf，如下
αf(x,y)=f(［x,y］) x,y∈
(3.1.3)
这样定义的2-上循环称为上的2-上边缘。
设是一个李代数，(,π)称为的中心扩张，如果π:是满同态，并且它的核包含在的中心里。
记C2(,C)是由上的所有2-上循环构成的向量空间，B2(,C)是由上的所有2-上边缘构成的向量空间，商空间H2(,C)=C2(,C)B2(,C)称为上的2-上同调群。H2(,C)和的一维中心扩张的等价类之间有一一对应关系。
3.2 代数M的中心扩张
下面来确定代数M的2-上同调群。
设f是定义在代数M上的一个线性函数，具体作用如下：
f(Am)=－cm4α(Am,B0) m∈Z
其中α是定义在代数M上的任一2-上循环
令β=α－αf，则
β(Am,B0)=α(Am,B0)－f(［Am,B0］) 0≠m∈Z
而A0=0，故有
β(Am,B0)=0 m∈Z
(3.2.1)
当m=0时，显然有 β(Bm,B0)=0
而当m≠0且m∈Z时，有(2.7)式和(3.2.1)式知：
β(Bm,B0)=1cm2β(Am+qmA－m,B0)
因此对m∈Z，有
β(Bm,B0)=0 m∈Z
(3.2.2)
而 β(Bm,B0)=α(Bm,B0)－f(［Bm,B0］)
故 α(Bm,B0)=0 m∈Z
(3.2.3)
由2-上循环的定义知：
α(Ai,［Bj,Bk］)+α(Bj,［Bk,Ai］)+α(Bk,［Ai,Bj］)=0
(3.2.4)
α(Ai,［Aj,Bk］)+α(Aj,［Bk,Ai］)+α(Bk,［Ai,Aj］)=0
(3.2.5)
α(Ai,［Aj,Ak］)+α(Aj,［Ak,Ai］)+α(Ak,［Ai,Aj］)=0
(3.2.6)
整理(3.2.4)式得：
(i+k)α(Bj,Bi+k)－(k－i)α(Bj,Bi－k)－(i+j)α(Bk,Bi+j)+(j－i)qjα(Bk,Bi－j)=0
(3.2.7)
令k=0并结合(3.2.3)式，整理(3.2.7)式得：
2iα(Bj,Bi)=0
故 α(Bj,Bi)=0 i,j∈Z
(3.2.8)
因此 β(Bj,Bi)=α(Bj,Bi0)－f(［Bj,Bi］)=0
(3.2.9)
整理(3.2.5)式得：
(i+k)α(Bj,Bi+k)+(k+j)α(Ai,Bj+k)－(k－j)qkα(Ai,Bj－k)－(i+k)α(Aj,Bi+k)+(k－i)qkα(Aj,Bi－k)+(i－j)α(Ai+j,Bk)－qj(i+j)α(Ai－j,Bk)=0
(3.2.10)
在(3.2.10)式中令k=0得：
2iα(Aj,Bi)－2jα(Ai,Bj)=(i－j)α(Ai+j,B0)－qj(i+j)α(Ai－j,B0)
(3.2.11)
整理(3.2.6)式得：
(j－k)α(Ai,Aj+k)+j2k－jqkα(Ai,Aj－k)+k2k－jqjα(Ai,Ak－j)+(k－i)α(Aj,Ak+i)+k2i－kqiα(Aj,Ak－i)+i2i－kqkα(Aj,Ai－k)+(i－j)α(Ak,Ai+j)+i2j－iqjα(Ak,Ai－j)+j2j－iqiα(Ak,Aj－i)=0
(3.2.12)
在(3.2.12)式中令i+j=0，化简得：
(k+i)α(Ak－i,Bi)+(i－k)qiα(A－i,Bk－i)+(i+k)q－iα(Ai,Bi+k)－(k－i)q－iα(Ak+i,Bi)－2iq－i(i+j)α(Ak,B2i)=0
(3.2.13)
在(3.2.13)式中令k=2i，化简得：
4α(Ai,Bi)－2qiα(A2i,B2i)=－3qiα(Ai,B3i)+1qiα(A3i,Bi)
(3.2.14)
当i≠0且i∈Z时，由(3.2.11)式可得：
4α(Ai,Bi)－2qiα(A2i,B2i)=2α(A2i,B0)－1qiα(A4i,B0)
(3.2.15)
当i=0时，(3.2.15)式也成立。 因此有
4α(Ai,Bi)－2qiα(A2i,B2i)=2α(A2i,B0)－1qiα(A4i,B0) i∈Z
(3.2.16)
由(3.2.15)式可得：
α(Ai,Bi)=12α(A2i,B0) i∈Z
(3.2.17)
故
β(Ai,Bi)=α(Ai,Bi)－f［Ai,Bi］=0
(3.2.18)
由(3.2.11)式，可得
iβ(Aj,Bi)=jβ(Ai,Bj) i,j∈Z
(3.2.19)
在(3.2.10)式中令i=j+k，化简得
jα(A2i－j,Bj)+iqi－jα(A2j－i,Bi)－(i+j)α(Ai－j,Bi+j)=j2q－iiα(A2j,B0)+i+j2qj(i+j)α(A2i－2j,B0)－i2α(A2i,B0)
(3.2.20)
由(3.2.20)式得
jβ(A2i－j,Bj)－iqi－jβ(A2j－i,Bi)=(i+j)β(Ai－j,Bi+j) i,j∈Z
(3.2.21)
由(3.2.13)式知：
(k+2i)qiα(Ak－i,Bi)+(2i－k)α(Ak+i,Bi)－2iα(Ak,B2i)=2iqiα(Ak,B0)+k2q2iα(A2i+k,B0)
(3.2.22)
因此有
(2i+k)qiβ(Ak－i,Bi)+(2i－k)β(Ak+i,Bi)－2iβ(Ak,B2i)=0i,k∈Z
(3.2.23) --!>
综上讨论可知，代数M的中心扩张有以下性质：
β(Am,B0)=0 m∈Z
β(Bm,B0)=0 m∈Z
β(Bj,Bi)=0 i,j∈Z
iβ(Aj,Bi)=jβ(Ai,Bj) i,j∈Z
jβ(A2i－j,Bj)－iqi－jβ(A2j－i,Bi)=(i+j)β(Ai－j,Bi+j) i,j∈Z
(2i+k)qiβ(Ak－i,Bi)+(2i－k)β(Ak+i,Bi)－2iβ(Ak,B2i)=0 i,k∈Z（作者单位：贵州师范大学数计学院）
基金项目：贵州省自然科学基金资助项目（黔科合2265）
参考文献：
［1］ Kac,V.,Raina Lecture on Highest Weight Representation of Infinite-Dimensional Lie Algebras, Advanced Series in Mathematics, 1987, 2.
［2］ Zamolodchikov A.B.,Infinite additional symmetries in two dimensional conformal quantum field theory, Theor.Math. Phys., 1985, 65: 1205-1213.
［3］ Kac V., Radul A., Quasi-finite highest weight modules over the Lie algebra of differential operators on the circle, Comm.Math.Phys., 1993, 157: 429-457. ［4］ Patera J., Zassenhaus H., The higher rank Virasoro algebras, Comm. Math., Phys., 1991, 136:1-14.
［5］ Arbarello E., De Concini C., Kac V. G., Procesi C., Moduli spaces of curves and representation theory, Comm. Math. Phys., 1988, 117: 1-36.
［6］ Billig Y., Representations of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra at level zero, Canadian Mathematical Bulletin, 2003,46: 529-537.
［7］ Jiang Q., Jiang C., Representations of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra and the full toroidal Lie algebras, Algebra Colloq, 2007, 14(1): 117-134. --!>