例谈源自数学灵感的数学能力生成
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1 引言
当前对于数学教学有效性的研究成为了一个热门的课题，拜读了很多有关这方面的论著，感触颇深．在平时的教学调研过程中，笔者听课的同时经常思考这样一个问题，那就是课堂有效教学的立足点到底在什么地方？在教学过程中到底是教师充分展示自己的“备课成果”，让学生感叹教师的“渊博知识”、聆听教师的“精辟讲解”；还是让学生充分暴露他们的“解题困惑”，点亮他们的“思维之火”．通过对学生课堂学习过程中思维活动进程的观察、与学生进行深入交流以及对学生试题解答的分析，笔者发现，大部分学生的数学学习能力得不到有效提高的“浅层原因”是缺乏对数学知识的有效总结、提炼与变通，而“深层原因”则是学生不善于挖掘、把握数学信息，不能及时、准确捕捉数学灵感．与此同时，教师对学生的帮助也往往是不力的，学生的很多合理想法得不到教师的肯定，常被轻描淡写、一挥而散，久而久之，学生在学习过程中逐渐失去了可贵的灵感、数学教学也将失去应有的灵动．下面结合几个教学及学生解题实例就课堂教学中如何挖掘信息、捕捉灵感谈一些想法．
2 案例分析
案例一：一节高三复习课上，教师在讲解完一道数列例题后给出了一个变题，“已知数列{an},{bn}满足a1=b1=6，an+1=an+n-3，bn+1=12bn+1（n∈N*）．求使得am=bm成立的正整数m的取值集合M”．给学生一定的思考时间，要求给出解题思路．
大部分学生都能较为顺利的求出两个通项公式：an=12n(n-7)+9，bn=2+12n-3．
【教师】：同学们有什么方法来解决该题吗？
【学生甲】：通过对特殊项计算发现，a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，从第4项开始不成立．
【教师】：如何严格证明从第4项开始am=bm不可能成立能？（学生甲进一步思考）
【学生甲】：可以研究两个数列的最值情况或是研究数列的单调性．
【教师】：（整理并板书）当n≥4时，an=12n(n-7)+9=12n-722+238，单调递增，故an≥a4=3；bn=2+12n-3，单调递减，故bn≤b4=52．故M={1,2,3}．
（此时，有学生乙举手，提出了一个自己的解题思路）
【学生乙】：通过直接求解方程12m(m-7)+9=2+12m-3，得到m的值．
【教师】：我们所学的知识还不能求解这样的方程，看样子这种方法行不通，大家看下一题．
……
教师对学生甲的解法予以了充分的肯定，原因在于其解法与教师预设（备课）的完全一致．事实上，学生乙提出的解法虽然实难以实现，但其思维方式是常规的、合理的，我们可以称之为“朴素的灵感”．遗憾的是，由于学生乙的想法超出了教师的预设，这“朴素的灵感”被教师无情的扼杀了！如果教师能够敏锐的捕捉到学生的这一灵感，并在学生乙的想法的基础上稍加点拨、微调思路，那么不仅能得到更符合学生思维习惯的解法，更为重要的是
让学生获得成功的体验．教师可从几方面加以点拨，将方程整理为m(m-7)+14=12m-4，① 方程等号的左边必是一个整数，考察方程等号的右边取值情况，同学们会有什么发现呢？
② 方程等号的右边是指数函数型的（底数小于1），那么是否可以根据其取值的有界性来解决这个问题呢？巧妙的设问不仅肯定了学生思维方式的合理性，同时教师就如何挖掘信息、捕捉灵感、理性调整为学生作出了很好的示范．
2009年江苏省高考数学第17题：“设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a23=a24+a25,S7=7，试求所有的正整数m，使得amam+1am+2为数列{an}中的项.?”正是“案例一”解题思想的再现.我们暂且不谈题中所出现的简单数论思想，如果学生有了变形表达式、分析表达式特征的意识，就能较为顺利找到有效的解题方法，而这就是一种能力，是在对朴素数学思想和数学灵感的积累中逐步生成的.
在新课程的理念中强调关注的情感价值目标，就是要求我们的教师在细微处，“润物无声”的加以实现，学生在不断体验成功的过程中树立了学习的信心和唤起了学习的激情，这样的教学一定是真正有效的！
案例二：昆山某校进行了一次数学调研测试，卷中有这样一个问题，“已知正方形ABCD的边长为1，P、Q分别是边BC、
CD上的点，CPQ的周长为2．（1） 求∠PAQ；（2） 略”．
笔者抽取了一个班级的试卷进行了批阅，并就批阅过程中发现的问题与该班任课教师进行了交流，一起对学生的解法进行了分析．第（1）问解答较为完整的同学大都采用了“设CQ＝x，CP=y，利用CPQ的周长为2得到x与y的等量关系，通过计算∠PAQ的余弦或正切值，求得∠PAQ＝45°”．这种解法是常规的，学生容易上手，但应该看到，与通过余弦来求解的学生相比，通过正切求解的学生更能充分挖掘、把握题中的有效信息（图中的直角三角形），从而简化了运算．还有一些学生将点P、点Q特殊化，
很快得到了∠PAQ＝45°（未给出证明）．事实上这些学生已经捕捉到了一个重要信息，即虽然CPQ的周长为定值2，但P、Q两点不定，而依据题目的设问方式，∠PAQ应该是一个定角．遗憾的是，这些学生有了灵感却未能有效捕捉．既然已预计到∠PAQ＝45°，则∠DAQ＋∠PAB＝45°，若能将DAQ“补”到PAB的下方（如右图所示），通过证明PAQ≌PAE，即可证得∠PAQ＝45°．
我们有必要思考一下，一个题目的价值到底在什么地方，它的功能如何得以发挥？通过对案例二的分析可以看到，题目除了知识的考查功能外，还有培养学生观察、分析能力，提升学生数学素养的功能．2009年江苏省高考数学第18题：“在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.” 就是一个很好的例证.如果学生能注意到两圆为“等圆”，从直径相等这一特殊情况出发，很容易分析出点P应在C1C2的中垂线上，从而避开代数运算，利用平几知识给出简单证明即可解决该题.
3 对数学灵感来源的思考
数学灵感并不是我们想象的那么神秘，它在平时的教学过程中无处不在．通常的数学教学无非就是教师通过讲解实现对知识与方法的介绍；通过练习加以强化与巩固；通过师生交流力求提升与情感价值目标的实现．因此，数学灵感的产生是现实的、可把握的，大致可以分为下面三个层次．
3.1 数学灵感依托已有的知识体系与解题方法
如何帮助学生建构完整的知识体系、掌握常见的解题方法一直是数学教师十分关注的问题，而大部分学生的数学解题也主要是依靠已有知识与方法的积累．在上述“案例一”中，学生甲能很快想到研究数列单调性，其实数列单调性的研究并非是简单的基础知识，它结合了数列的函数化思想，由于学生有这样的知识积累与解题体验，因而，学生的数学灵感就在一种十分平淡的状态下自然的产生了．
3.2 数学灵感源自试题的命题结构与关联信息
数学解题在立足本源知识、关注通性通法的基础上，对试题的研究同样十分重要．我们经常说要提高学生分析问题、解决问题的能力，显然学会分析是前提．事实上，学生最欠缺的正是对试题结构的研究以及对试题中隐含的数学信息的把握．在平时的教学调研中，笔者发现，学生不善于“借力”破题，也即学生不会合理利用试题结构，经常会忽视一个试题各小问之间的关联性，从而产生解题障碍．再有，学生不能从试题中挖掘出隐含信息，或是有了灵感不能很好的利用．例如，在“案例二”中，学生用特殊化的思想找到了结果，但没能很好的进一步给出证明．再如江苏省08高考第14题：“设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意x∈［-1,1］，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_________.”，题目已经明确告诉我们a是一个定值，如果发现了这一信息，用二分法就可以解决该题．
3.3 数学灵感需要教师的巧妙点拨与共同探求
我们一直在倡导学生的自主学习和探究，但是在现实教学的执行过程中往往会发生偏差.教师的指导不力、点拨不到位直接影响了学生学习能力的有效提升.学生自主探究绝不是教师可以放松对学生学法的指导和数学思想的提炼，相反，在学生自主探究过程中，对教师提出了更高的要求.在“案例一”中，教师可能是想通过学生探究和师生互动来提高学生分析问题的能力，但是学生乙的解题灵感由于不在教师的预设范围之内而被否定了.一方面，说明了教师在教学过程中忽视学生的数学灵感，不尊重学生的数学思维，以形式化的互动与探究掩盖了灌输式教学的本质；另一方面，说明了教师缺少对试题、教法、学法的深入研究，缺乏对探究式教学的课堂驾驭能力，从而也就谈不上对学生数学灵感的点拨与进一步的深入探究.数学灵感来自于学生，但教师的作用却是不可替代的，优秀的教师不只是重视教学预见，他们更善于捕捉学生多变的思维信息，在充分尊重学生的基础上，用自己鲜活的思想来教会学生优化、放大、积累数学灵感.